Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda Camillo » 14/01/2008, 23:20

Tempo fa, un utente del Forum (non ricordo più chi) aveva chiesto un aiuto per studiare questo tipo di funzioni.
Questo post vuole rispondere a quella domanda.
Ho diviso il testo in vari punti e in post diversi :

A)Definizione di funzione integrale e richiamo di proprietà degli integrali definiti.
La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .[ Rilassando al massimo le condizioni cui deve soddisfare la funzione integranda, si può arrivare a dire che l'insieme delle discontinuità della funzione integranda è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue].
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è continua e derivabile (derivabile solo nei punti in cui $f $ è continua) ed ha come derivata la funzione integranda.

Ovviamente $F''(x) = f'(x)$

E' utile ricordare che :
$int_x^a f(t)dt = - int_a^x f(t)dt $
$int_a^a f(t)dt=0 $
$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a<b<c$.

Nel caso che un estremo dell'integrale non sia semplicemente $ x $ ma una funzione di $x$ , diciamo $g(x)$, sia cioè $ F(x) = int_a^(g(x)) f(t)dt $ allora applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene che :

$F'(x) = f[g(x)]*g'(x) $

Un esempio servirà a chiarire meglio
Es. Sia $F(x) = int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ ; pongo $y =sqrt(x); G(y)=int_0^y e^(t^2)dt$ da cui $F(x)=G(sqrt(x)) $ e quindi $G'(y)=e^(y^2)$ e infine $F'(x)=G'(sqrt(x))*1/(2*sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.

Nel caso più generale in cui entrambi gli estremi di integrazione siano funzioni di $x$, diciamo $ g_1(x),g_2(x)$ , sia cioè :$F(x)= int_(g_1(x))^(g_2(x)) f(t)dt $ si ha analogamente che $F'(x)=f[g_2(x)]*g'_2(x)-f[g_1(x)]*g'_1(x)$.

SEGUE

Edit : apportate modifiche in linea con suggerimenti di gugo
Ultima modifica di Camillo il 10/09/2009, 22:12, modificato 4 volte in totale.
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Re: Studio della funzione integrale - I

Messaggioda gugo82 » 15/01/2008, 03:02

Devo dire che un vademecum del genere ci voleva. Hai tutto il mio appoggio Camillo!

Due piccolissime note:
1.
Camillo ha scritto:La funzione integrale è definita come $F(x) = int_a^x f(t)dt$ con $f(t)$ continua in $(a,b)$ oppure discontinua in un numero finito o al massimo numerabile di punti .

La numerabilità dei punti di discontinuità non è proprio il "massimo" possibile: in verità, al massimo l'insieme delle discontinuità dell'integrando è un insieme di misura nulla secondo Lebesue (quindi potrebbe essere anche di cardinalità maggiore del numerabile, come l'insieme di Cantor).

2.
Camillo ha scritto:Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che, nelle ipotesi sopra considerate si ha :
$F'(x) = f(x), AA x in (a,b)$ : la funzione integrale è cioè derivabile (e quindi continua) ed ha come derivata la funzione integranda.

Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale dimostra la continuità della funzione integrale prima dalla sua derivabilità: quindi la notizia della continuità di $F$ andrebbe di logica preposta alla notizia della sua derivabilità. Inoltre la derivabilità di $F$ è assicurata solo nei punti in cui $f$ è continua.
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Messaggioda Camillo » 15/01/2008, 10:38

Ringrazio Gugo per le sue osservazioni ; per ora non modifico il testo, rimando la correzione alla fine .
Avrò ancora bisogno di commenti/osservazioni/suggerimenti.
Questi appunti sono indirizzati a chi debba sostenere Analisi I , quindi al più metterò tra parentesi riferimenti tipo Lebesgue.
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Messaggioda Sergio » 15/01/2008, 10:42

Gran bella iniziativa! Vi leggerò, come al solito, con grande interesse.
E... prenderò appunti!
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Studio della funzione integrale II

Messaggioda Camillo » 15/01/2008, 14:17

B)Studio della funzione integrale $F(x)= int_a^x f(t)dt$

Consigli e suggerimenti .

*Studiare prima di tutto,anche in modo sommario,la funzione integranda $f(t)$.
Sarà utile considerarne il dominio, gli asintoti, i limiti agli estremi del dominio e tracciarne un grafico,anche se approssimato.

Adesso si può passare allo studio $F(x)$ :

*E'ovvio ma utile ricordare che $F(a)=0 $ .

*Valutare, quando possibile, il segno di $F(x)$,osservando il segno appunto dell'integrale definito (e quindi dell'area corrispondente) data da $int_a^x f(t)dt$.

Prestare attenzione : se si considera $int_a^b f(t)dt $ con $b < a $, converrà trasformarlo in $ - int_b^a f(t)dt$ ; si è così ripristinato il "verso normale di integrazione " in cui l'estremo inferiore di integrazione è minore di quello superiore.

Ad esempio se $F(x)= int_0^x e^(-x^2)$ sappiamo che $F(0)=0 $; inoltre essendo l'area racchiusa tra la curva e l'asse delle ascisse sempre positiva ne consegue che per la funzione integrale in questione è :
*$F(X) > 0 $ per $x>0 $
ma

*$F(X) < 0 $ per $x<0 $ [infatti $int_0^x e^(-t^2)dt= -int_x^0 e^(-t^2)dt$].

* Calcolare poi $lim_(x rarr +-oo)F(x) = lim_(x rarr +-oo)int_0^x f(t)dt $ e verificare se l'integrale converge o diverge, usando i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Si avrà quindi :
-se l'integrale diverge allora anche $F(X) $ diverge
-se invece l'integrale converge , allora $lim_( x rarr +-oo)F(x )= l$ (finito) e questo significa che $F(x)$ ha asintoto orizzontale di equazione $y = l $ .
Se si sa calcolare l'integrale improprio allora è possibile determinare l'esatto valore di $l $, altrimenti no, bisogna magari

limitarsi alla conoscenza del segno, se deducibile da altre considerazioni (zeri, crescenza , decrescenza della funzione
$F(x))$.

*E' opportuno poi calcolare gli altri limiti di $F(x)$ nei punti di discontinuità di $f(t)$.

Sia $t=c$ punto di discontinuità per $f(t)$.
E' opportuno distinguere vari casi :
a) esiste finito il limite destro della funzione integranda , allora la funzione integrale è definita e continua a destra.
b) analogo risultato nel caso esista finito il limite sinistro.
c) esiste finito il limite della funzione integranda , ma la funzione non è continua in $ t=c $ :$f(c) ne lim_(t rarr c)f(c)$, allora la funzione integrale è continua in $t=c$.
[Queste considerazioni derivano dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla: diciamo che quello che succede alla funzione integranda in un singolo punto non ha effetto sull'integrale].
Possiamo trarre pertanto la conclusione che :
-la funzione integrale $F(x)$ relativa ad $f(t)$ è continua nei punti $c$ in cui $f(t)$ presenta delle discontinuità eliminabili o di prima specie ( esistono finiti i limiti destro e sinistro ma sono diversi).
-Quando invece la discontinuità è di seconda specie o addirittura uno dei limiti non esiste allora la cosa si fa problematica .
Se l'integrale diverge allora $ x=c $ sarà asintoto verticale per $F(x)$.

Chiaramente in quest'ultimo caso la funzione $F(x)$ non sarà definita per valori $x > c $ (se $c > 0$) in quanto la funzione integrale divergerà.

Esempio $F(x)=int_0^x e^t*dt/(t-1)$.
Chiaramente $ t=1 $ è punto di discontinuità per la funzione integranda .
Valutiamo $F(1)=lim_(x rarr 1^(-))int_0^x e^t*dt/(t-1) $ e vediamo che l'integrale diverge a $-oo$ e quindi pure $F(x) $ diverge a $-oo$.
$F(x)$ pertanto non è definita per $x > 1$ e il suo dominio sarà quindi $(-oo,1)$.

*Passo successivo assai significativo è quello di calcolare la derivata di $F(x) $ che sappiamo essere $F'(x)= f(x) $.
Si deducono quindi gli intervalli di crescenza , decrescenza, punti di stazionarietà della funzione integrale e quindi i suoi punti di max e min relativi, gli eventuali punti di cuspide e/o punti a flesso a tangente verticale : le normali informazioni che si ottengono dallo studio della derivata prima di una funzione.
*Se possibile si calcola anche la derivata seconda $F''(x)=f'(x)$ che fornirà quindi quali siano gli intervalli di concavità , convessità e i punti di flesso della funzione integrale.
*Per verificare se $F(x)$ ha asintoto obliquo , nel caso ovviamente
che $F(x)$ diverga a $+- oo $ si calcola $m=lim_(x rarr +-oo)[F(x)]/x $=$ lim_(x rarr +-oo)(int_a^x f(t)dt)/t $=
$= lim_(x rarr +-oo)f(x)$ avendo usato la regola di De l'Hopital per l'ultimo passaggio.
Va poi verificato, prima di concludere che esiste asintoto obliquo che :

$lim_( x rarr +-oo) [F(x)-mx] = q $ esista finito.

SEGUE

Edit : modifiche in accordo con suggerimenti di gugo e ampliamenti
Ultima modifica di Camillo il 25/01/2008, 14:26, modificato 1 volta in totale.
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Re: Studio della funzione integrale II

Messaggioda gugo82 » 15/01/2008, 17:52

Piccola precisazione:
Camillo ha scritto:*E' opportuno poi calcolare gli altri limiti di $F(x)$ nei punti di discontinuità di $f(t)$.

Sia ad esempio $t=c$ punto di discontinuità di $f(t)$.Pertanto $F(c^(+)) =int_0^(c^+)f(t)dt $ . Se tale valore esiste

finito, se cioè l'integrale converge e in aggiunta anche $F(c^(-))$ esiste finto e converge allo stesso valore di
$F(c^(+))$ allora $F(x) $ è definita in $x=c $ e si ha $F(c)= l$.
Se invece l'integrale diverge allora $x=c $ sarà asintoto verticale per $F(x)$.
Chiaramente in quest'ultimo caso la funzione $F(x)$ non sarà definita per valori $x > c $ (se $c > 0$) in quanto la funzione integrale divergerà.

Noto che nei punti $c$ in cui l'integrando possiede finito il limite destro [risp. il limite sinistro, il limite], allora la funzione integrale è sicuramente definita e continua a destra di [risp. continua a sinistra di, continua in] $c$: ciò discende proprio dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla.

Esempio: siano $f(x)=\{(-1, ", se "xle 0),(1, ", se "x>0):}$ ed $F(x)=\int_1^x f(t) " d"t$.
Fissato $x=0$, l'integrale $F(0)$ non è un integrale improprio: infatti, prescindendo l'integrale di Riemann dal comportamento dell'integrando su insiemi di misura nulla secondo Lebesgue ed essendo ${0}$ un insieme con tale caratteristica, è possibile modificare arbitrariamente il valore di $f(0)$ (ad esmpio prolungare in maniera continua a destra ponendo $f(0)=1$) senza modificare il valore di $F(0)$.

Quanto detto implica che la funzione integrale relativa ad $f$ è continua nei punti $c$ in cui $f$ presenta discontinuità eliminabili o di prima specie.
I problemi sorgono quando la discontinuità in $c$ è di seconda specie oppure quando uno dei due limiti destro o sinistro della $f$ in $c$ non esiste (ma anche quando non esistono entrambi non è una bella situazione! :-D).



P.S.: Il Teorema di Vitali-Lebesgue è uno dei risultati più forti che ho visto durante il corso di Analisi I.
Certo, forse agli ingegneri non è mai stato enunciato, però almeno i matematici dovrebbero conoscerlo dal primo anno: quindi ti prego di farne menzione da qualche parte.
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Studio della funzione integrale -III

Messaggioda Camillo » 15/01/2008, 22:41

C)Esempio commentato

Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$

a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $

$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale

$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1<t<0$ .
-Infine $f(t)$ ha max relativo per $ x= alpha $ con $ -1<alpha <0$ e punto di minimo relativo per $ x=beta $
con $beta >0$.

b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0<x<2 $ $F(x) <0 $ in quanto $int_2^xf(t)dt = -int_x^2 f(t)dt$
*per $ -1<x<0 $ non è facile determinare il segno di $F(x)$ perchè non si sa se le aree sottese positive e negative si compensino o no e dove eventualmente questo accada.
Dall'esame però della $F'(x)$ si noterà che $F(x)$ in $(-1,0)$ è decrescente ; dovendo decrescere da $+oo$ fino a un valore negativo per $x=0$ ( vedi più avanti la spiegazione), la funzione taglierà l'asse delle ascisse in un punto compreso tra $-1 $ e $0$.
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :

$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1<x<0$ .
-In $x=0$ si ha un punto di cuspide in quanto $lim_(x rarr0^(+-))F'(x)=+-oo$.
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.

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Studio della funzione integrale -IV- Grafici

Messaggioda Camillo » 16/01/2008, 17:40

Ecco il grafico di $f(t)=\frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$

Immagine



e della funzione integrale $F(x)=int_2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$


Immagine

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Studio della funzione integrale -V- Esercizi

Messaggioda Camillo » 18/01/2008, 22:04

Propongo alcuni esercizi da svolgere con qualche "aiuto ".

a) $F(x)= x*int_0^x e^{-y^2}dy-int_1^x ye^{-y^2}dy $.
Dedurre il grafico di $F^{''}(x) $ e calcolare $lim_{x \to +\infty} F(x)$
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\(F^' (x) =\int_0^x e^{-y^2}dy + xe^{-x^2}- xe^{-x^2} =\int_0^xe^{-y^2}dy \).


b) Studiare la funzione $ F(x)= int_0^x \frac{(1-e^(-t^2))*dt}{t^2+1}$.

c) Studiare la funzione $F(x)= e^{-x^4}+int_0^{x^2} t^2 e^{-t^2} dt$
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\(F^' (x)= -4x^3e^{-x^4}+2x^5e^{-x^4}=2x^3 e^{-x^4}*(x^2-2)\).


d) $F(x) = int_0^{x^2-2x} e^{-t^4}dt$
Determinare il dominio di $F(x)$ e i punti di massimo e di minimo.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$F(0)=F(2) =0 $


e) $F(x)= int_0^{x^2-1}e^{-t} \sqrt{t} dt$
Determinare dominio , asintoti orizzontali e punti di massimo e di minimo
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dominio : $x^2 -1 >=0 $


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Messaggioda paggisan » 23/01/2008, 20:07

che programma avete usato per creare il grafico della funzione integrale???'

io solitamente, per le funzioni normali, uso il derive......ma per creare le funzioni integrali non sò proprio quale usare!!!

hellppp!!!!!!!!!!!!!!!!!
paggisan
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