Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda MaxwellD » 05/02/2013, 21:52

Sto cercando di ricavare la forma esplicita della funzione di integrale di una funzione definita in \(\displaystyle [-1,0] \) come \(\displaystyle f(x)=4x \) e in \(\displaystyle (0,1] f(x)=5x \), considerando che l'estremo di integrazione inferiore deve essere \(\displaystyle -1 \). Pensavo di averla trovata in \(\displaystyle f(x)= (x-1)*2 \) in \(\displaystyle [-1,0] \) e \(\displaystyle f(x)= -2+5/2*x \) in \(\displaystyle [0, 1] \) , ma suppongo proprio di sbagliarmi per cui chi mi da una mano?
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda gugo82 » 06/02/2013, 16:10

Se non ho capito male vuoi esprimere esplicitamente la funzione \(F:[-1,1]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
F(x)=\int_{-1}^x f(t)\ \text{d} t \qquad \text{con } f(t):= \begin{cases} 4t &\text{, se } -1\leq t\leq 0 \\ 5t &\text{, se } 0<t\leq 1.\end{cases}
\]
Farlo non è tanto difficile, e basta distinguere i casi possibili.
Se \(x\leq 0\), allora:
\[
F(x)=\int_{-1}^x 4t\ \text{d} t = 2t^2\Big|_{-1}^x = 2x^2-2\; ;
\]
mentre, se \(x>0\), allora:
\[
F(x) = \int_{-1}^0 4t\ \text{d} t + \int_0^x 5t\ \text{d} t = -2 + \frac{5}{2}\ t^2 \Big|_0^x = \frac{5}{2}\ x^2 -2\; .
\]
Conseguentemente:
\[
F(x) = \begin{cases} 2x^2-2 &\text{, se } -1\leq x\leq 0 \\ \frac{5}{2}\ x^2 -2 &\text{, se } 0<x\leq 1\; .\end{cases}
\]
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda appa91 » 07/02/2013, 22:51

Ragazzi un mesetto fa all'ennesimo appello di Analisi 1 mi hanno ucciso con una funzione integrale particolare. Ve la propongo perchè non sono ancora riuscito a capire come si risolve:

$ f(x) =int_0^|x|(e^t - 1)/(t sqrt(1-t))dt $

chiedeva in particolare il dominio dell'integrale, il grafico e un altro punto che non ricordo. Sapete darmi un'idea di come si risolva? Cioè più che altro il modulo all'estremo di integrazione cosa comporta?
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda gugo82 » 07/02/2013, 23:30

Come hai pensato di fare?
Puoi benissimo applicare a questo problema il procedimento scritto nei post iniziali di Camillo. Prova. :wink:
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda appa91 » 07/02/2013, 23:37

io ho trovato il dominio dell' integranda che è $ (-oo;0) uu (0;1) $ poi essendoci il modulo di x all'estremo di integrazione ho pensato che fosse impossibile che l'integrale fosse minore di zero, cioè si può fare solo l'integrale da zero a uno e facendo i limiti ho trovato che a zero il limite vale 1 e che a 1 la funzione converge. Però è sbagliato perchè ho preso zero :| . Di quale metodo parli?
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda gugo82 » 08/02/2013, 11:59

Innanzitutto, nota che l'integrando si prolunga con continuità in \(0\), quindi \(0\) non dà problemi in quanto ad integrazione; gli unici problemi, casomai, vengono quando l'estremo d'integrazione \(|x|\) prende il valore \(1\).

Ad ogni modo, nota che la tua funzione è composta da:
\[
\Phi(y):= \int_0^y \frac{e^t -1}{t\sqrt{1-t}}\ \text{d} t \qquad \text{e} \qquad h (x)=|x|
\]
in modo che:
\[
f(x):= \Phi (h(x))\; .
\]
La funzione \(\Phi\) è la funzione integrale di punto iniziale \(0\) della funzione \(\phi (y):= \frac{e^y -1}{y \sqrt{1-y}}\); la \(\phi\) è definita in \(]-\infty ,0[\cup ]0,1[\) ma si prolunga con continuità su \(0\) ponendo \(\phi (0)=1\); continuando a denotare con \(\phi\) il prolungamento a tutto \(]-\infty, 1[\), notiamo che \(\phi\) è un infinito in \(1\) d'ordine \(1/2\), quindi sommabile a sinistra di \(1\); d'altra parte, essa è infinitesima in \(-\infty\) d'ordine \(3/2\), quindi sommabile pure all'infinito.
Conseguentemente, \(\Phi\) è definita in \(]-\infty, 1]\) ed ha limite finito in \(-\infty\).
La funzione composta \(f(x)=\Phi (h(x))\) è allora definita ogniqualvolta \(h(x)\in \operatorname{Dom} \Phi\), ossia per ogni \(x\) tale che \(|x|\leq 1\); ne consegue che \(\operatorname{Dom} f=[-1,1]\).
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda appa91 » 08/02/2013, 12:17

Ok grazie mille.. oggi me la guardo con calma :smt023
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda appa91 » 08/02/2013, 19:26

Ok l'ho risolta e mi viene però ho un dubbio: nell'origine la funzione come la disegno? a punta inclinata di 45 gradi dato che il mite a zero fa 1, oppure con una lieve curvatura?
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda gugo82 » 08/02/2013, 19:28

Chiediti se la tua funzione è derivabile in \(0\), innanzitutto...
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda appa91 » 08/02/2013, 19:30

essendo integrale da o a... so che la funzione integrale passa nell'origine e che si annulla in zero... in ogni caso essendo integrabile è sicuramente derivabile. No? non ho mai capito alla perfezione questi concetti...
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