Studio della funzione integrale - I... VI

[dissonance]

Moderatore: dissonance

Per favore, cercate di evitare di scrivere qui. Questo topic è segnalato come "importante" e resta sempre in alto nella lista. Se lo riempite di interventi secondari questi ne renderanno difficile la consultazione.

Se volete porre domande alla comunità, è meglio aprire nuovi topic nell'area normale che appendere delle risposte qui. Grazie.

[magliocurioso]

Mi scuso anticipatamente se il mio intervento non sarà molto opportuno però secondo me potrebbe essere utile per tutti gli utenti di questo forum trasformare i migliori interventi di questo topic in una dispensa come è recentemente avvenuto nel caso di quest'altro topic:

algebra-lineare-for-dummies-t45434.html

In tal modo si potrebbe poi linkare tale dispensa invitandola a consultare prima pubblicare nuovi messaggi e/o aprire nuovi topic perché magari semplicemente leggendo e meditando su di essa si troverebbe la risposta a numerosi dubbi, molti dei quali abbastanza banali.

[batmath]

Molto molto interessante e molto ben fatta questa presentazione sulla funzione integrale. E' proprio una cosa che manca nei testi comuni di Analisi e che invece viene spesso data agli esami.
Per graficare una funzione integrale bisogna andare per punti. Un esempio lo si può vedere (creato con Mathematica) in questo notebook: http://www.batmath.it/interattive/mathe ... Integr.cdf
Anche agli esami di stato di maturità scientifica è stato dato qualche volta e in proposito ho raccolto alcuni esercizi in questo fascicoletto: http://www.batmath.it/esame/funz_integr ... gr_scr.pdf

Sarebbe utile trasformare questo post in una dispensetta...

Luciano Battaia

[Simone2903]

Confesso che per trovare $q $ e quindi calcolare il limite ho usato Derive
Se qualcuno vuol cimentarsi a calcolarlo a " manina " ...

Ciao. Volevo soltanto completare un esercizio lasciato a metà da Camillo. Si tratttava di mostrare che la funzione integrale $F(x)=\int_(0)^(x) arcsin(t|t| 1/(1+t^2))dt$ non ha asintoto obliquo e in particolare che $lim_(x->infty)(\int_(0)^(x) arcsin(t|t|/(1+t^2))dt-(pi)/2x)=-infty$.
Essendo $0<t<x$ possiamo togliere il valore assoluto e scrivere $\int_(0)^(x) arcsin(t|t| 1/(1+t^2))dt-(pi)/2x= \int_(0)^(x) arcsin(1-1/(1+t^2))dt-(pi)/2x$. Scriviamo lo siluppo in serie di potenze della funzione $arcsin(1-x^2)$ in un intorno di 0 (non conviene usare lo sviluppo di $arcsin(1-x)$ come si può vedere andando a fare i conti. D'altra parte l'argomento del arcoseno deve essere minore di $1$ per cui viene naturale andare a scegliere $arcsin(1-x^2)$). Facendo il conto esce $arcsin(1-x^2)=pi/2-sqrt(2)x-x^3/(6sqrt(2))+o(x^4)$. Applichiamo ora il criterio del confronto asintotico. Formalmente $forall epsilon>0, exists M>0:forallx>M, |arcsin(1-1/(1+x^2))-pi/2+sqrt(2)/sqrt(1+x^2)|<epsilon$. Quindi $\int_(0)^(x) arcsin(1-1/(1+t^2))dt-(pi)/2x=\int_(0)^(M) arcsin(1-1/(1+t^2))dt+\int_(M)^(x) arcsin(1-1/(1+t^2))dt-(pi)/2x$. Ponendo per semplicità $int_(0)^(M) arcsin(1-1/(1+t^2))dt=A in mathbb R$ abbiamo $A+lim_(x->infty)(\int_(M)^(x) arcsin(1-1/(1+t^2))dt-(pi)/2x) $$ \approx A+lim_(x->infty)(\int_(M)^(x) (pi/2-sqrt(2)/sqrt(1+t^2))dt-pi/2x)$ $=A+lim_(x->infty)((pi)/2x-(pi)/2M-sqrt(2) ln(x+sqrt(1+x^2))+sqrt(2) ln(M+sqrt(1+M^2))-pi/2x)=-infty$. Naturalmente se non fosse stato possibile valutare esattamente l'integrale, avremmo comunque potuto stimarlo come $int_(M)^(x) dt/sqrt(1+t^2)approx int_(M)^(x) dt/t=lnx-lnM$ ottenendo ugualmente il risultato cercato. Il tutto si poteva fare ovviamente anche in modo un pò meno preciso ma contemporaneamente meno pedante evitando di passare per $M$ e usando direttamente il confronto asintotico.

[gugo82]

Beh, hai:
\[
\begin{split}
F(x) - \frac{\pi}{2}\ x &= F(x) - \int_0^x \frac{\pi}{2}\ \text{d} t\\
&= \int_0^x \left( \arcsin \frac{t^2}{1+t^2} -\frac{\pi}{2} \right)\ \text{d} t &\quad \text{(è } x>0 \text{ e } 0\leq t\leq x\text{)}\\
&= -\int_0^x \arccos \frac{t^2}{1+t^2}\ \text{d} t\\
&\stackrel{\tau = \arccos \frac{t^2}{1+t^2}}{=} - \int_{\pi/2}^{\arccos \frac{x^2}{1+x^2}} \tau\ \left( - \frac{\sin \tau}{2 \sqrt{\cos \tau \ (1-\cos \tau)^3}}\right)\ \text{d} \tau \\
&=- \frac{1}{2}\ \int_{\arccos \frac{x^2}{1+x^2}}^{\pi/2} \frac{\tau\ \sin \tau}{\sqrt{\cos \tau}\ (1-\cos \tau)^{3/2}}\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
sicché, dato che \(\lim_{x\to +\infty} \arccos \frac{x^2}{1+x^2}=0\), tutto si riconduce allo studio dell'integrale improprio:
\[
\int_0^{\pi/2} \frac{\tau\ \sin \tau}{\sqrt{\cos \tau}\ (1-\cos \tau)^{3/2}}\ \text{d} \tau\; ;
\]
ma tale integrale è divergente, poiché l'integrando è infinito in \(0\) d'ordine \(1\); pertanto il limite \(\lim_{x\to \infty} F(x) - \frac{\pi}{2}\ x\) non può essere finito.

[Elena4]

Ciao,
ho letto il post e l'ho trovato molto interessante. Grazie! Mi sono cimentata poi a fare un esercizio e volevo chiedervi conferma circa la mia soluzione. Vi pregherei di segnalarmi tutti gli eventuali errori. Grazie molte!

L'esercizio è questo: Data la funzione integrale \(\displaystyle \int_0^x ln(3+sin|t|)\) dt :

1) Dimostrare che è definita su tutto \(\displaystyle \Re \): io ho calcolato il dominio della funzione integranda e ho visto che è tutto \(\displaystyle \Re \) e inoltre ho osservato che non ha punti di discontinuità. Occorre mostrare altro?

2) Dire dov'è derivabile e calcolare la derivata prima: dovrebbe essere derivabile in \(\displaystyle \Re \) perchè lo è la funzione integranda. E' corretto?

3) Studiare dove F è crescente/decrescente e dire se ci sono max/min: a me è venuta sempre crescente. NOn ci sono dunque punti di massimo e minimo

4) Dire se F è pari o dispari: a me è venuta dispari per \(\displaystyle x>0 \) e pari per \(\displaystyle x<0 \). Quindi F su \(\displaystyle \Re \) non risulta nè pari nè dispari.

5) Dire se F è periodica: no

6) Dire se esistono finiti o infiniti: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} F(x) \). Secondo me questi limiti sono divergenti. E' giusto?

7) \(\displaystyle G(x) = F(x) -qx \) è una funzione limitata. Dimostralo e determina q . Affinchè sia limitata deve esistere \(\displaystyle M> \) tale che \(\displaystyle -M-qx < \int_0^x ln(3+sin|t|) dt < M+qx \). Risolvendo trovo \(\displaystyle ln2<q<ln4 \).

Qualcuno mi può aiutare a capire se ho risolto bene l'esercizio o se sbaglio da qualche parte?
Grazie molte!

[gugo82]

Mi sono cimentata poi a fare un esercizio e volevo chiedervi conferma circa la mia soluzione. Vi pregherei di segnalarmi tutti gli eventuali errori. Grazie molte!

L'esercizio è questo: Data la funzione integrale \(\displaystyle \int_0^x ln(3+sin|t|)\) dt :

1) Dimostrare che è definita su tutto \(\displaystyle \Re \): io ho calcolato il dominio della funzione integranda e ho visto che è tutto \(\displaystyle \Re \) e inoltre ho osservato che non ha punti di discontinuità. Occorre mostrare altro?

Bene così.
Infatti l'integrando è definito ovunque ed è ovunque continuo; pertanto esso è integrabile in ogni intervallo del tipo \([0,x]\) o \([x,0]\) e perciò \(F\) è definita in tutto \(\mathbb{R}\).

2) Dire dov'è derivabile e calcolare la derivata prima: dovrebbe essere derivabile in \(\displaystyle \Re \) perchè lo è la funzione integranda. E' corretto?

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la \(F\) è derivabile lì dove l'integrando è continuo; dato che l'integrando è continuo in tutto \(\mathbb{R}\), la tua funzione integrale è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\).
Inoltre, puoi anche essere più precisa e dire che \(F\) è di classe \(C^\infty (\mathbb{R})\), poiché la sua derivata prima \(F^\prime (x):=\ln (3+\sin |x|)\) è indefinitamente derivabile in tutto \(\mathbb{R}\).

3) Studiare dove F è crescente/decrescente e dire se ci sono max/min: a me è venuta sempre crescente. NOn ci sono dunque punti di massimo e minimo

Dato che \(\sin |x|\geq -1\) si ha \(F^\prime (x)=\ln (3+\sin |x|)\geq \ln 2 > 0\) cosicché la tua \(F\) è strettamente crescente e non ha estremi relativi.

4) Dire se F è pari o dispari: a me è venuta dispari per \(\displaystyle x>0 \) e pari per \(\displaystyle x<0 \). Quindi F su \(\displaystyle \Re \) non risulta nè pari nè dispari.

L'integrando è una funzione pari ed il punto iniziale di \(F\) è \(0\): pertanto la funzione \(F\) è dispari.
Infatti, se \(x>0\) si ha:
\[
F(-x)=-\int_{-x}^0 \ln (3+\sin |t|)\ \text{d} t \stackrel{\tau =-t}{=} \int_x^0 \ln (3+\sin |\tau|)\ \text{d} \tau=-F(x)
\]
mentre, se \(x<0\) è:
\[
F(-x)=\int_0^{-x} \ln (3+\sin |t|)\ \text{d} t \stackrel{\tau =-t}{=} -\int_0^x \ln (3+\sin |\tau|)\ \text{d} \tau =-F(x)
\]
quindi \(F(-x)=-F(x)\) in ogni caso, ed \(F\) è dispari.

5) Dire se F è periodica: no

Certo che no, perché \(F\) è strettamente crescente quindi non può assumere più d'una volta ogni valore nella sua immagine.

6) Dire se esistono finiti o infiniti: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} F(x) \). Secondo me questi limiti sono divergenti. E' giusto?

Dato che:
\[
\liminf_{x\to \pm \infty} \ln (3+\sin |x|) = \ln 2>0
\]
l'integrando non è impropriamente integrabile né in \(+\infty\) né in \(-\infty\); quindi si ha necessariamente:
\[
\lim_{x\to \pm \infty } F(x)=\pm \infty\; .
\]

7) \(\displaystyle G(x) = F(x) -qx \) è una funzione limitata. Dimostralo e determina q . Affinchè sia limitata deve esistere \(\displaystyle M> \) tale che \(\displaystyle -M-qx < \int_0^x ln(3+sin|t|) dt < M+qx \). Risolvendo trovo \(\displaystyle ln2<q<ln4 \).

Dato che \(\ln 2 \leq f(x)\leq \ln 4\), si ha \((\ln 2)\ x\leq F(x)\leq (\ln 4)\ x\) ma ciò non ti consente di concludere, in generale, che \(F(x)-qx\) è limitata per ogni \(q\in [\ln 2,\ln 4]\)...
Che passaggi hai fatto?

[Elena4]

Ciao,
innanzitutto, grazie molte per la correzione puntuale! Mi è stata di grande aiuto..
Quello che avevo tentato di fare io per dimostrare che \(\displaystyle G(x) = F(x) -qx \) era limitata è dire che affichè \(\displaystyle G(x) \) sia limitata deve esistere \(\displaystyle M>0 \) tale che \(\displaystyle |\int_{0}^{x}ln(3+sin|t|) dt -qx |<M \).

Poi avevo scritto: \(\displaystyle -M <\int_{0}^{x}ln(3+sin|t|) dt -qx < M \) da cui \(\displaystyle -M +qx <\int_{0}^{x}ln(3+sin|t|) dt -qx < M + qx \). Dividendo tutti membri per x e facendo \(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \) trovo \(\displaystyle q< lim_{x \rightarrow \infty} ln(3 + sin|t|) < q\) da cui però effettivamente non posso dedurre nulla. L'altra volta avevo sbagliato un segno e avevo scritto \(\displaystyle -q< lim_{x \rightarrow \infty} ln(3 + sin|t|) < q\) e così mi veniva il risultato che ti avevo scritto.
A questo punto, direi, che il testo del problema è sbagliato e la funzione \(\displaystyle G(x) \) non è limitata. Tu che ne pensi?

Grazie ancora di tutto!

[magliocurioso]

Chiedo scusa se mi intrometto nuovamente ma ritengo che sia utile porre dentro questa discussione la seguente domanda:

La funzione $Gamma$ di Eulero è una funzione integrale?

[gugo82]

La funzione $Gamma$ di Eulero è una funzione integrale?

Non proprio: è piuttosto un integrale dipendente da un parametro.