Messaggioda paggisan » 24/01/2008, 12:05

Camillo ha scritto:Miracolo è riuscito l'upload del grafico della funzione integrale $F(x)=int_0^x (e^(-t)(t-1))/sqrt(t^2+t+2)$

Eccolo

Immagine


miiiiiii
ma a me il derive ha fatto un grafico diverso!!!!
mentre da te dopo lo 0 la funzione è negativa....nel mio grafico dopo lo 0 la funzione rimane positiva!!!
uffaaaaaaaaaaa

come diamine faccciooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :twisted:
devo provare a fare molti altri grafici.......uffaaaa

io scrivo cosi' nel derive la funzione f(t) : [e^(-t)(t-1)]/[√(t^2+t+2)] (con la e= e+ctrl)
giusto?
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Messaggioda Camillo » 24/01/2008, 12:14

Ecco intanto il grafico della funzione integrale $f(t) = e^(-t)(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ .

Più tardi farò qualche commento , inizia tu a guradare entrambi i grafici della funzione integrale edi quella integranda...

Immagine
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Messaggioda paggisan » 24/01/2008, 12:19

camillo grazie per l'aiuto che mi stai dando..... però ti prego ricordati di spiegarmi sto fatto della positività e negatività della funzione integranda :( :(
paggisan
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Spiegazione dettagliata

Messaggioda Camillo » 24/01/2008, 13:40

Va sempre tenuto presente il grafico della funzione integranda $f(t)=e^(-t)(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ le cui caratteristiche principali sono :

$f(1) = 0 $;$f(t) > 0 $ per $t > 1 $ ; $f(t)<0 $ per $t<1 $, $lim_(t rarr+oo)f(t)=0 $ ;$ lim_(t rarr -oo) f(t)= -oo$.
Funzione sempre crescente.

Consideriamo ora la $F(x)=int_0^x f(t)dt$ .
A) Ovvio che sia $F(0)=0 $ .Cerchiamo ora di valutarla per $0<x<1$.L'area racchiusa tra la funzione integranda e l'asse delle ascisse , nell'intervallo detto, è negativa e quindi certamente lo sarà anche $F(x)$.
A1) Vediamo adesso che succede quando $ x> 1 $ . la funzione integranda è positiva e le aree avranno quindi segni diversi : il contributo tra $ 0 $ e $1 $ abbiamo visto che è negativo , ma da $1 $ in avanti il contributo all'area e quindi all'integrale sarà positivo.
La $F(x)$ quindi risalirà verso valori " meno negativi" .Che arrivi fino a $0$ e lo superi non lo sappiamo ; però

l'$int_0^(+oo)e^(-t)(t-1)dt/sqrt(t^2+t+2) $ converge , ha cioè valore finito [ per $x rarr +oo $ la funzione integranda è di infinitesimo di ordine maggiore di qualunque potenza di $t$ e questo è dovuto alla presenza di $ e^(-t)=1/e^t$].
Non conosciamo però questo valore finito -bisognerebbe calcolare numericamente l'integrale improprio.
La $F(x)$ avrà quindi un asintoto orizzontale per $ x rarr +oo$ , chiamiamolo $ alpha $ questo valore sconosciuto e quindi l'equazione dell'asintoto orizzontale è $ y = alpha $ .
Non sappiamo se $ alpha >0$, (in tal caso le aree positive per $x >1 $ avrebbero la prevalenza ) oppure nullo( le aree si sarebbero compensate) oppure negativo ("vincono " le aree negative : sembra sia così ).

B)Vediamo cosa succede per $ x< 0 $ .
Converrà riscrivere la funzione integrale così:
$ F(x) = int_0^xf(t)dt = - int_x^0 f(t)dt $ .Attenzione quindi al segno meno davanti all'integrale che rovescerà quindi tutte le considerazioni che faremo sul segno dell'integrale .
La funzione integranda è sempre negativa ,l'area racchiusa sarà quindi sempre negativa ma il segno meno davanti all'integrale comporta che $F(x) $( sempre per $x<0$ ) sia sempre positiva.
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Messaggioda paggisan » 24/01/2008, 14:15

camillo grazie.....mi hai illuminato!!!

ultimissima cosa....quando applico il criterio del confronto per x-->-oo mi viene come risultato +00 (perchè prevale il carattere dell'esponenziale)....ma se considero il segno meno davanti all'integrale (come mi hai scritto tu per il caso x<0 ).....mi verrebbe che il risultato del limite è -00 e quindi dovrebbe divergere verso -oo e non verso +oo ..... perchè????

mò provo a fare un'altra funzione integrale e vediamo se ho realmente capito!!!!

l'ultima cosa....che versione hai di derive???
come ho già detto...pur eseguendo i passi giusti.....non riesco ad avere lo stesso tuo grafico :roll:
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Addendum a Spiegazione dettagliata

Messaggioda Camillo » 24/01/2008, 17:00

*Per completare lo studio della funzione integrale conviene calcolarne la derivata $F'(x)$ che sarà data da $F'(x)= e^(-x)(x-1)/sqrt(x^2+x+2)$ [ è la funzione integranda ].
Dall'esame di $F'(x) $ si vede che la derivata è :
$ >0 $ per $ x>1 $;
$<0 $ per $ x<1$
$=0 $ per $ x=1 $.
pertanto la funzione integrale $F(x)$ è :
crescente per $ x>1 $
decrescente per $x <1 $
ha un minimo in $x=1 $.


*Ho derive 6 , non so quale possa essere il tuo problema...

*Quando parli del criterio del confronto per $x rarr -oo$ non mi è chiaro che cosa vuoi dire esattamente.
Come applichi questo criterio e a che cosa ?
Il criterio serve a stabilire se un integrale improprio diverge o converge paragonando(tramite maggiorazione o confronto asintotico) la funzione integranda con un'altra di cui si sa se converge o no .
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Re: Addendum a Spiegazione dettagliata

Messaggioda paggisan » 24/01/2008, 17:59

Camillo ha scritto:
*Quando parli del criterio del confronto per $x rarr -oo$ non mi è chiaro che cosa vuoi dire esattamente.
Come applichi questo criterio e a che cosa ?
Il criterio serve a stabilire se un integrale improprio diverge o converge paragonando(tramite maggiorazione o confronto asintotico) la funzione integranda con un'altra di cui si sa se converge o no .


io uso il criterio del confronto asintotico con $g(t)=1/|t|^a$ come funzione di contronto

$lim f(t)*|t|^a= +oo$ per ogni $a>0$ perchè prevale il carattere dell'esponenziale, cioè di $e^(-t)$ che tende a +oo.

quindi mi viene +oo....che cambiato di segno è -oo
Dovrebbe invece venire +oo visto che la mia funzione tende prorprio a +oo come si vede dal grafico!
capito cosa ti voglio dire???
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Messaggioda Camillo » 25/01/2008, 14:06

@paggisan
*Il calcolo di $lim_(t rarr -oo)f(t) $ mostra che tale limite vale : $-oo$ in quanto essendo $f(t)= e^(-t)*(t-1)/sqrt(t^2+t+2) $ i vari fattori tendono a $ [ (+oo)*(-oo)/(+oo)] $.Prevale $e^(-t)$ sul denominatore e quindi il limite è appunto $-oo$.
*Adesso è da vedere a cosa tende $F(x)=int_0^xf(t)dt$ quando $x rarr -oo$.
Conviene riscriverlo, per $x<0$, $: -int_x^0 f(t)dt $ in modo da ripristinare il normale verso delle $ x $ crescenti.
Si tratta ora di vedere se l'integrale (per $x rarr -oo)$ converge o diverge .Va quindi considerato l'integrale improprio $int_(-oo)^0 e^(-t)(t-1)dt/sqrt(t^2+t+2)$ . Per vederne la integrabilità si deve analizzare come si comporta nell'intorno di $ -oo$, unico punto critico per la funzione integranda.
Già si era visto studiando la funzione integranda , che diverge a $-oo$ quando $x rarr -oo$.Quindi certamente l'integrale non converge ; se la funzione integranda fosse stata infinitesima di ordine $ >1 $ rispetto all'infinitesimo campione $1/x$ , allora l'integrale sarebbe stato convergente.

** Non confondere il segno ( e il valore ) del $lim_(x rarr -oo)f(t)$ con il valore e il segno dell'integrale $ F(x) =int_(-oo)^0f(t)dt $ .Sono due cose ben distinte : una è una valutazione puntuale della $f(t)$ , l'altra tiene conto di tutti i valori che la $ f(t) $ assume da $ -oo $ fino a $0$ e appunto li integra .


Edit : sez I e II modifiche secondo suggerimenti di gugo e ampliamneti.
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Messaggioda paggisan » 26/01/2008, 18:30

altro problema:

non sò come posso dimostrare le ipotesi del teorema di DE l'HOPITAL a questo limite di funzione integrale per $t->-oo$( che mi serve sviluppare per verificare se esiste o non esiste l'asintoto obliquo):
$lim_(t rarr -oo)= {int_0^xe^(-t)/sqrt[(t-1)(t-2)]}/t$


helpppp!!!!!!!!!!!!!
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Messaggioda Camillo » 27/01/2008, 19:15

Hai una situazione di forma indetrminata del tipo $f(x)/g(x) rarr [oo/oo]$ ; per poter usare il Teorema di de l'Hopital devono essere verificate le seguenti condizioni , in un intorno del punto $x_0$ (in questo caso di $-oo $)
*$f(x), g(x) $ continue
*$f(x), g(x) $ derivabili
*$g'(x) ne 0 $.
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