Studio della funzione integrale - I... VI

[Camillo]

a) $F(x )= x int_0^x e^(-y^2)dy - int_1^x ye^(-y^2)dy $

Soluzione : $F''(x) = e^(-x^2) ; lim_(x to +oo) F(x) = +oo$
Grafico di $F''(x)$



b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$

Grafico di $F(x)$





c) $F(x) = e^(-x^4)+ int_0^(x^2) t^2 e^(-t) dt $

Grafico di $F(x) $





d) $F(x) = int_0^(x^2-2x) e^(-t^4)dt $

Soluzione
Dominio : $RR$ ; minimo per $x=1 $ ; non esistono massimi.

Grafico




e) $F(x) = int _0^(x^2-1) e^(-t)sqrt(t)dt $

Soluzione
Dominio : $ (-oo,-1] U[1,+oo)$

Asintoto orizzonale : $y = sqrt(pi)/2$
Minimo :$F(+-1)=0 $
Non esistono massimi
Grafico



SEGUE

[gugo82]

Grazie per aver accolto i miei piccoli suggerimenti.

[Camillo]

Propongo lo studio di $F(x) = int_1^x(e^t*dt)/sqrt|t| $

Soluzione :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dominio : $RR$
$F(x) > 0 $ per $ x>1 $ ; $F(x) < 0 $ per $x < 1 $ ; $F(1) = 0 $ .

\(F'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{|x|}}\)

Punti di flesso $ x=0 ;\ x=1/2 $; $F(x) $ convessa in $ (-oo,0) uu ( 1/2,+oo) $ , concava in $ (0,1/2) $.

In $ x=0 $ flesso a tangente verticale. Funzione sempre crescente. Asintoto orizzontale per $ x to -oo $.

[paggisan]

Camillo sicuramente farò le fnzioni che mi hai segnalato tu
però...nel frattempo chiedo un'altro aiutino
non riesco a fare i limiti di questa funzione $int_x^(x+1) e^(-sqrt(t))dt - x $
mi riuscite a dare una mano?
il dominio è ovviamnete $x>=0$

helppp!

[Camillo]

L'integrale si può calcolare te e quindi volendo ottieni una espressione analitica per $F(x)$.
Immagino tu ti riferisca al limite della $F(x) $ per $ x to +oo $ .
Un semplice ragionamento qualitativo :
la funzione integranda è infinitesima per $ x to +oo $ e a maggior ragione quando la integri tra $ x $ e $ x+1 $ il valore dell'integrale tende a $ 0 $.
Resta allora solo il contributo di $ -x $ che chiaramente tende a $ -oo $.

[paggisan]

grazie mille Camillo....come al solito sei troooppo chiaro e preciso nelle tue spiegazioni(il post per la cronaca l'ho letto molto tempo fà)!

io però ho ancora problemi..... guarda questa funzione integrale:
$int_0^x arcsin[t|t|/(t^2+1)]

non riesaco a determinare campo di esistenza(io penso sia da -oo a +oo ) e limiti.... una mano me la riesci a dare ancora una volta?

[diavoletto89]

Ciao,intanto complimenti.Grazie a questo topic ho risolto diversi dubbi.
Ora volevo chiedervi,devo trovare il dominio di questa funzione

$\int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$

non riesco a capire cosa cambia col fatto che ho $x^2$ come estremo sup

Poi per studiarne la derivabilità è sufficiente fare il dominio della derivata prima o devo fare altro??

Poi un ultima cosa,in questa funzione mi viene chiesto di verificare se è limitata e di calcolare eventuali estremi e/o asintoti

$\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$

ho studiato il dominio che è [1;2[

Essendo $\int_1^(2)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt=+oo$ allora superiormente non è limitata.
Per vedere se è limitata inferiormente posso fare il $\lim_{x \to \1}\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ?

Sempre se è giusto quel che ho scritto,il valore trovato se è finito è l'ordinata dell'estremo?L'estremo sarebbe (1,0)?



Grazie anticipatamente a chi risponderà!

[paggisan]

grazie mille Camillo....come al solito sei troooppo chiaro e preciso nelle tue spiegazioni(il post per la cronaca l'ho letto molto tempo fà)!

io però ho ancora problemi..... guarda questa funzione integrale:
$int_0^x arcsin[t|t|/(t^2+1)]$

non riesco a determinare campo di esistenza(io penso sia da $-oo$ a $+oo$ ) e limiti.... una mano me la riesci a dare ancora una volta?

Camillo oltre a rispondere alla domanda qui sopra... può dirmi qualche altro cosuccia a prorposito di questi 2 integrali che tu stesso mi hai suggerito di fare

a) $F(x )= x int_0^x e^(-y^2)dy - int_1^x ye^(-y^2)dy $

Soluzione : $F''(x) = e^(-x^2) ; lim_(x to +oo) F(x) = +oo$
Grafico di $F''(x)$



la derivata prima mi viene a sua volta un integrale....come faccio dunque a fare lo studio del segno se è ancora una volta un integrale ??

b) $F(x) = int_0^x(1-e^(-t^2))dt/(t^2+1)$

Grafico di $F(x)$



l dominio mi è venuto: tutto R-(0)...ma come può essere e come mi devo comportare se uno degli estremi dell'integrale è prorpio lo 0????
devo verificare se per x->0 è sommabile??? e se mi venisse non sommabile che vorrebbe dire???
grazie anticipatamente per le risposte

[Camillo]

Ecco i commenti alla funzione integrale :$F(x)=int_0^x arcsin((t*|t|)*dt/(t^2+1))$

a) funzione integranda $f(t) $
Per trovare il dominio della funzione integranda devo imporre :
$-1<=(t*|t|)/(1+t^2)<= 1 $ ; ricordando che $ |t| = t $ se $ t>0 $ , mentre $|t| = -t $ se $ t<0 $ si vede che il dominio è $RR$.
Inoltre $f(0) =0 ; f(t)>0 $ per $t>0 $ ; $f(t)<0 $ per $t<0 $.
$lim_(t to +oo) f(t)= pi/2$(asintoto orizzontale); $lim_(t to -oo)f(t)= -pi/2$(asintoto orizzontale).

b) Funzione integrale $F(x)$ .
$F(0)=0 ; F(x) >0 $ per $x >0 $ ;per$x<0,F(x)= -int_x^0 f(t)dt $ ed è quindi ancora $F(x) >0 $ (essendo $f(t) <0 $ per $t<0 $).
Inoltre si verifica facilmente che : $lim_(x to +-oo)F(x)=+oo $.
Il dominio di $F(x)$ è $RR$. $F(x)$ ha un punto di minimo assoluto in $x=0$.
Per concludere $F(x) $ è decrescente per $x <0 $ ; crescente per $x >0 $ in quanto la sua derivata
$F'(x) =arcsin((x*|x|)/(x^2+1)) $ è negativa per $x<0$ e positiva per $x >0 $.

[paggisan]

Ecco i commenti alla funzione integrale :$F(x)=int_0^x arcsin((t*|t|)*dt/(t^2+1))$

a) funzione integranda $f(t) $
Per trovare il dominio della funzione integranda devo imporre :
$-1<=(t*|t|)/(1+t^2)<= 1 $ ; ricordando che $ |t| = t $ se $ t>0 $ , mentre $|t| = -t $ se $ t<0 $ si vede che il dominio è $RR$.
Inoltre $f(0) =0 ; f(t)>0 $ per $t>0 $ ; $f(t)<0 $ per $t<0 $.
$lim_(t to +oo) f(t)= pi/2$(asintoto orizzontale); $lim_(t to -oo)f(t)= -pi/2$(asintoto orizzontale).

b) Funzione integrale $F(x)$ .
$F(0)=0 ; F(x) >0 $ per $x >0 $ ;per$x<0,F(x)= -int_x^0 f(t)dt $ ed è quindi ancora $F(x) >0 $ (essendo $f(t) <0 $ per $t<0 $).
Inoltre si verifica facilmente che : $lim_(x to +-oo)F(x)=+oo $.
Il dominio di $F(x)$ è $RR$. $F(x)$ ha un punto di minimo assoluto in $x=0$.
Per concludere $F(x) $ è decrescente per $x <0 $ ; crescente per $x >0 $ in quanto la sua derivata
$F'(x) =arcsin((x*|x|)/(x^2+1)) $ è negativa per $x<0$ e positiva per $x >0 $.

si tutto ok.....ma gli asintoti obliqui??sono li' i problemi che incontro maggiormente...

inoltre prima ti avevo scritto cheil dominio di una funzione di quelle da tè proposte mi era venuto: tutto R-(0) ....no....sbagliato....non era una delle funzioni da te prorposte ma una fatta da me....
in generale: quando il dominio viene tutto R-(0)...ma uno degli estremi dell'integrale è prorpio lo 0, che bisogna fare????
devo verificare se per x->0 è sommabile??? e se mi venisse non sommabile che vorrebbe dire???
grazie anticipatamente per le risposte