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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

08/02/2013, 19:30

essendo integrale da o a... so che la funzione integrale passa nell'origine e che si annulla in zero... in ogni caso essendo integrabile è sicuramente derivabile. No? non ho mai capito alla perfezione questi concetti...

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

08/02/2013, 19:35

Scusa, con le notazioni del mio post di sopra, hai \(f(x)=\Phi (|x|)\).
Sapendo che \(\Phi\) è derivabile in \(0\) e che \(\Phi^\prime (0)=\phi (0)\), riesci a calcolare la derivata destra e sinistra di \(f\) in \(0\)?

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

08/02/2013, 19:45

non è 1 e -1?

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

08/02/2013, 21:45

Certo, quindi la \(f\) ha un punto angoloso in \(0\).
Adesso sai disegnarne il grafico lì intorno.

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

09/02/2013, 00:14

ottimo! Grazie mille!

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

09/06/2013, 15:49

Ragazzi ma nel caso in cui l'estremo di integrazione fosse una funzione non continua in tutto R? Cioe se fosse ad esempio 1/x in x=0 non esisterebbe la funz integrale giusto? Pero in questo caso come devo comportarmi nello studio dei limiti?

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

12/06/2013, 14:59

La funzione integrale esisterebbe lì dove esiste come funzione composta... Per il resto, servono più dettagli. :wink:

Re: Studio della funzione integrale -III

08/07/2013, 15:18

Camillo ha scritto:C)Esempio commentato

Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$

a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $

$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale

$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1<t<0$ .
-Infine $f(t)$ ha max relativo per $ x= alpha $ con $ -1<alpha <0$ e punto di minimo relativo per $ x=beta $
con $beta >0$.

b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0<x<2 $ $F(x) <0 $ in quanto $int_2^xf(t)dt = -int_x^2 f(t)dt$
*per $ -1<x<0 $ non è facile determinare il segno di $F(x)$ perchè non si sa se le aree sottese positive e negative si compensino o no e dove eventualmente questo accada.
Dall'esame però della $F'(x)$ si noterà che $F(x)$ in $(-1,0)$ è decrescente ; dovendo decrescere da $+oo$ fino a un valore negativo per $x=0$ ( vedi più avanti la spiegazione), la funzione taglierà l'asse delle ascisse in un punto compreso tra $-1 $ e $0$.
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :

$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1<x<0$ .
-In $x=0$ si ha un punto di cuspide in quanto $lim_(x rarr0^(+-))F'(x)=+-oo$.
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.

SEGUE

ciao camillo potresti gentilmente spiegarmi una cosa? quando hai studiato la funzione integranda hai scritto presumibilmente i valori di massimo e minimo, in realtà per fare ciò non dovresti prima calcolare la derivata prima? mentre gli stessi valori rappresentano monotonia di Fx?

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

15/01/2014, 15:02

Ciao a tutti! Mi servirebbe una mano per chiarire meglio questo argomento...oltre ad aver studiato l'argomento sul Pagani-Salsa - Analisi matematica 1, ho dato un'occhiata anche su internet, e ho dedotto questo:
INTEGRALE DEFINITO: si riduce al calcolo dell'area tra f(x) e l'asse delle ascisse (con segno, ovvero positiva per l'aera calcolata in y>0 e negativa per y<0) in [a;b]--> R; questo concetto è legato alle somme di Reimann-Cauchy.
INTEGRALE INDEFINITO: è il calcolo di tutte le primitive relative a quella funzione integranda (data la costante C ); la relazione tra somme di Reimann e primitiva è descritta nel teorema fondamentale del calcolo integrale (con relativa dimostrazione in cui, con il teorema del valor medio per gli integrali, si dimosta il connesso.)
FUNZIONE INTEGRALE: (e qui inizia la mia nota dolente): si cerca F(x) ovvero una funzione, devinita tra x0 (punto fissato, possiamo anche chiamarlo "a" se si vuole) ed x variabile, che naturalmente vivono sull'asse delle ascisse. Questa funzione deve essere la primitiva di un'altra funzione (per esempio f(t) )ù

Le mie domande sono:
1. f(t) ed F(x) Giaciono sullo stesso piano? O meglio, l'asse di ascissa t coincide con l'asse x? (perchè non riesco ad immaginarmi la situazione molto bene...)
2. Qual'è la differenza tra integrale PROPRIO ed IMPROPRIO?
3. Il primo esercizio relativo alle funzioni integrali del libro mi chiede: la derivata prima di:
$ F(x)=int_(1)^(x) (t log(1+t)) /(2t^2 + 5) dt $
Grazie al teorema di Torricelli possiamo dire che:
$ F'(x)=(x log(1+x)) /(2x^2 + 5) $
e ci posso stare...

il secondo esercizio invece è:
$ F(x)= int_(0)^(4x)(e^t) /((|t|+1) cosh t) dt $
Ma il risultato invece è:
$ F'(x)=4(e^(4x)) /((|4x|+1) cosh (4x)) $
Quella costante moltiplicatica 4, da dove viene?! ...è come se avesse moltiplicato la derivata dell'estremante... è dovuta per caso da dt?!?!
Grazie mille per ora.

Re: Studio della funzione integrale - I... VI

15/01/2014, 15:41

Scrivo il mio dubbio in un nuovo topic, dato che alla discussione precedente hanno risposto dopo più di un mese!! =)
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