Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda *** » 27/05/2014, 17:05

Paggisan , qui è ben spiegato come fare :D

http://vivalascuola.studenti.it/come-tr ... ml#steps_4
Se Edison deve cercare un ago in un pagliaio procede con la diligenza dell'ape nell'esaminare paglia per paglia fino a quando trova l'oggetto della sua ricerca. Ero testimone dispiaciuto di tale comportamento, sapendo che un po' di teoria e calcoli avrebbero evitato il 90% del suo lavoro.
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda *** » 27/05/2014, 17:12

Qui è ben spiegato come disegnarle con Derive :D

http://vivalascuola.studenti.it/come-tr ... 33266.html
Se Edison deve cercare un ago in un pagliaio procede con la diligenza dell'ape nell'esaminare paglia per paglia fino a quando trova l'oggetto della sua ricerca. Ero testimone dispiaciuto di tale comportamento, sapendo che un po' di teoria e calcoli avrebbero evitato il 90% del suo lavoro.
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Re: Studio della funzione integrale -III

Messaggioda kobeilprofeta » 17/06/2015, 13:45

Camillo ha scritto:C)Esempio commentato

Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$

a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $

$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale

$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1<t<0$ .
-Infine $f(t)$ ha max relativo per $ x= alpha $ con $ -1<alpha <0$ e punto di minimo relativo per $ x=beta $
con $beta >0$.

b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0<x<2 $ $F(x) <0 $ in quanto $int_2^xf(t)dt = -int_x^2 f(t)dt$
*per $ -1<x<0 $ non è facile determinare il segno di $F(x)$ perchè non si sa se le aree sottese positive e negative si compensino o no e dove eventualmente questo accada.
Dall'esame però della $F'(x)$ si noterà che $F(x)$ in $(-1,0)$ è decrescente ; dovendo decrescere da $+oo$ fino a un valore negativo per $x=0$ ( vedi più avanti la spiegazione), la funzione taglierà l'asse delle ascisse in un punto compreso tra $-1 $ e $0$.
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :

$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1<x<0$ .
-In $x=0$ si ha un punto di cuspide in quanto $lim_(x rarr0^(+-))F'(x)=+-oo$.
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.

SEGUE


A me risulta che $f(t)$ sia asintotico a $1/t$ per $t to 0$ e che quundi $0 !in D F$

dove sbaglio?
kobeilprofeta
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda alessandro8 » 17/06/2015, 14:13

Camillo ha scritto:$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a<b<c$.


Ciao.
Vorrei aggiungere un mio piccolo contributo, spero sia gradito.

Alludendo alla citazione, probabilmente si voleva scrivere che $a<c<b$ al posto di $a<b<c$.
In realtà questa condizione ulteriore non dovrebbe servire a nulla; infatti la proprietà

$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt$

dovrebbe essere vera anche per $cnotin[a,b]$.

Sbaglio?

Saluti.
alessandro8
 
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda kobeilprofeta » 17/06/2015, 14:31

Il problema è se si parla di una $f in R[a,b]$, allora non avrebbe senso parlare di $c>b$
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda alessandro8 » 17/06/2015, 14:57

Vero.
Allora dovrebbe essere valido, per lo meno, il mio primo suggerimento

$a<c<b$ e non $a<b<c$.

Giusto?

Saluti.
alessandro8
 
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda kobeilprofeta » 17/06/2015, 15:01

penso di sì.

e riguardo al mio dubbio?
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda alessandro8 » 17/06/2015, 15:09

Se $f(x)$ fosse continua e definita solo sull'intervallo $(a,b)$, dovresti necessariamente aver ragione.
Beninteso, a patto che io non abbia tralasciato inavvertitamente qualche altro particolare.

Saluti.
alessandro8
 
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda kobeilprofeta » 17/06/2015, 15:23

kobeilprofeta ha scritto:...

A me risulta che f(t) sia asintotico a 1t per t→0 e che quundi 0∉DF

dove sbaglio?
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Re: Studio della funzione integrale - I... VI

Messaggioda mazzarri » 13/07/2015, 22:25

Una domanda.
Ho interiorizzato, spero, il concetto di funzione integrale
$I(x)=int_a^x f(t)dt$
Ho capito varie cose e ho svolto alcuni esercizi.
Soprattutto ho interiorizzato il concetto geometrico dietro la funzione integrale, qual è il suo significato vero quando la $t$ varia tra il numero $a$ e $x$.
Ora non mi è affatto chiaro il "passaggio successivo"... a volte, non spesso, la funzione integrale è cosa più complessa, del tipo
$I(x)=int_(x^2-3)^(ln(x^2-5)) f(t)dt$
ecco... di una siffatta funzione integrale mi posso calcolare agevolmente la derivata conoscendo la formula adatta allo scopo ma... non capisco il suo significato geometrico... che cosa significa che $t$ stavolta può variare tra due funzioni? la $f(t)$, funzione integranda, è essa stessa una funzione... come può il suo integrale (che è una area cioè un numero) variare tra due funzioni anzichè fra due numeri?
Grazie
mazzarri
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