differenziabilita di funzioni di più variabili

[df]

per verificare la differenziabilità di una funzione di due variabili il metodo certo è il calcolo della definizione.

altrimenti se ad esempio ho una funzione $z$ in due variabili e mi si chiede se è differenziabile in un punto P, allora basta che sia continua e derivabile nell'intorno del punto P o lo deve essere in tutto il dominio?

per sapere se una funzione differenziabile è sufficiente che $z$ sia continua e che le sue derivati esistano e siano continue, ovvero sia $z$ sia le sue derivate devono essere continue?

credo di aver capito bene, però nel dubbio chiedo a voi.

grazie

[gugo82]

per verificare la differenziabilità di una funzione di due variabili il metodo certo è il calcolo della definizione.

Questo metodo di solito si applica poco perchè esistono delle condizioni sufficienti a garantire la differenziabilità (che poi sono quelle che hai elencato appresso); però nei casi "estremi" torna utile.

altrimenti se ad esempio ho una funzione $z$ in due variabili e mi si chiede se è differenziabile in un punto P, allora basta che sia continua e derivabile nell'intorno del punto P o lo deve essere in tutto il dominio?

per sapere se una funzione differenziabile è sufficiente che $z$ sia continua e che le sue derivati esistano e siano continue, ovvero sia $z$ sia le sue derivate devono essere continue?

Una condizione sufficiente alla differenziabilità in un punto è la continuità di tutte le derivate parziali intorno a quel medesimo punto; questa condizione può essere però indebolita: infatti basta richiedere che una sola derivata parziale esista finita in quel punto e che tutte le rimanenti esistano finite intorno al punto e siano continue nel punto.
Riassumendo per funzioni di due variabili:

$"Continuità delle due derivate parziali prime di " z " intorno a " (x,y) quad => quad z " differenziabile in " (x,y)$

ma anche:

$"Una derivata prima continua in "(x,y) " e finita intorno a tale punto e l'altra finita in "(x,y) quad => quad z " differenziabile in " (x,y)$.

La differenziabilità è una proprietà locale, quindi ti basta ragionare intorno ad ogni punto dell'insieme di definizione; in altre parole la continuità delle derivate ti interessa limitatamente al punto in cui stai valutando la situazione. Ovviamente se vuoi valutare la differenziabilità in tutto l'insieme di definizione, ossia in tutti i suoi punti, devi guardare alla continuità delle derivate in tutto l'insieme di definizione.

Spero di essere stato chiaro.
Buono studio.

[df]

tutto chiaro grazie mille.

[Adore6]

Una condizione sufficiente alla differenziabilità in un punto è la continuità di tutte le derivate parziali intorno a quel medesimo punto; questa condizione può essere però indebolita: infatti basta richiedere che una sola derivata parziale esista finita in quel punto e che tutte le rimanenti esistano finite intorno al punto e siano continue nel punto.
Riassumendo per funzioni di due variabili:

$"Continuità delle due derivate parziali prime di " z " intorno a " (x,y) quad => quad z " differenziabile in " (x,y)$

ma anche:

$"Una derivata prima continua in "(x,y) " e finita intorno a tale punto e l'altra finita in "(x,y) quad => quad z " differenziabile in " (x,y)$.

Salve gugo82,
non mi è chiara la seconda condizione (più debole) sulla differenziabilità. In sostanza basta che solo una derivata parziale sia continua e che le altre esistano nel punto \( x_{0},y_{0} \) ?
Quale sarebbe la differenza sostanziale tra le due condizioni?

Grazie in anticipo.