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Scusami ma non riesco a capire come dal cambiamento di coordinate risulta $-2(1-\rho)<=z<=0$

Se hai compreso la mia precedente risposta, le restrizioni sono elementari: \[
0 \le \rho \le r(z), \quad\quad 0 \le \theta < 2\pi, \quad\quad -2 \le z \le 0
\] dove risulta \(r(z)=1+z/2\). Questo è tutto ciò che ti serve per l'integrale.

D'altro canto, volendo esercitarsi con qualche conto algebrico in più, si ha: \[
\begin{cases}
0 \le \rho \le 1+z/2 \\
-2 \le z \le 0 \\
\end{cases} \quad\quad\Rightarrow\quad\quad
\begin{cases}
0 \le \rho \le 1 \\
2\rho-2 \le z \le 0 \\
\end{cases}
\] ove invece che per una integrazione per strati si opta per una integrazione per fili.

Chiarissimo, grazie mille!!