Ancora sull'unicità delle soluzioni di eq.differenziali

Propongo un esercizio che mi dà qualche difficoltà:
determinare tutte le soluzioni della $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
E' chiaro che le funzioni costanti $y=+-1$ sono soluzioni. Separando le variabili inoltre si ottiene la famiglia $y_k(x)=sin(t^2+k), k\inRR$ (k indica una costante). Ce ne sono altre? Lungo le rette {$y=+-1$} non vale nessun teorema di unicità (sono punti di frontiera) e difatti le soluzioni costanti e quelle in $sin$ si intersecano allegramente, pur essendo distinte. Come procedere? grazie!

Allego un grafico: il campo di pendenze dell'equazione per $t\in[-5,5]$ in rosso, il grafico di $y=sin(t^2)$ in nero. Quello che mi sfugge è se le funzioni ottenute "incollando" archi di sinusoide e rette $y=1, y=-1$ possano essere ulteriori soluzioni o meno. Mi riferisco all'altro topic, relativo a $y'=sqrt(|y|)$, dove succedeva proprio qualcosa del genere.

Rispondo a intuito, senza aver letto i calcoli. Secondo me, a destra di zero, solo i tratti "ascendenti" dei seni sono soluzioni valide - questo
perché la derivata deve essere positiva (a sinistra di zero il comportamento si inverte). Arrivati a 1 i seni si incollano alla costante e non si staccano più.
Il fatto che si incollino lo vedi osservando che dove il seno fa uno la sua derivata è zero e quindi proseguendo con la costante ottieni una funzione $C^1$.
Stesso discorso all'indietro, se arrivi all'ordinata $-1$, in un'ascissa positiva, lì ti incolli a $-1$ per le ascisse più piccole.
In questo modo le soluzioni che partono da $(x_0,y_0)$, con $-1<y_0<1$ sono uniche in grande (almeno su $x>0$, non ho pensato bene a cosa succede
passando per zero). Se parti da $(x_0,-1)$ hai infinite soluzioni, dovendo tu decidere il momento $x_1\geq x_0$ in cui ti stacchi da $-1$ -- una volta che
ti sei staccato da $-1$ la soluzione è unica per tutti gli $x>x_1$.
Se parti da $(x_0,1)$ non hai unicità all'indietro (ripetendo all'indietro, almeno fono a $x=0$, i discorsi sopra).

Ho scritto , un po' in fretta, dei discorsi qualitativi che spero ti siano utili(e che spero non contengano errori).

@ViciousGoblinEnters
Mi sembrano qualitativamente convincenti

[dissonance]

Il discorso è perfettamente convincente.
Il fatto è che ho preso l'esercizio da un libro, il Salsa-Pagani 1998, Analisi matematica II, pag. 229.
Cito:

Sia data l'equazione $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
Le due rette $y=+-1$ sono soluzioni. Le altre sono date dalla formula
$int\frac{1}{sqrt(1-y^2)}\ dy =2intt\ dt+c$
ossia
$y=sin(t^2+c)$. (**)
Si noti che le rette $y=+-1$ costituiscono l'inviluppo della famiglia (**) come è facile verificare. Inoltre esse costituiscono la frontiera dell'insieme di definizione di $f(t,y)=2tsqrt(1-y^2)$ e pertanto non rientrano nella teoria ecc... (si riferisce ai teoremi di esistenza e unicità)

Ma questo è un errore, visto che come faceva notare V.G.E. le soluzioni devono essere crescenti per $t>0$ e decrescenti per $t<0$?




P.S:Se questo fosse un errore, il colpevole sarebbe il metodo orang-utang?

Dico questo perché a quella soluzione si arriva dividendo brutalmente per $sqrt(1-y^2)$, senza tenere presente che deve essere $y!=+-1$. Si arriva a $arcsin(y(t))=t^2+c$, ma questo deve essere vero in un intervallo aperto t.c. $arcsin(y(t))$ non raggiunge massimo e minimo $+-pi/2$. Quindi quando invertiamo per arrivare a $y(t)=sin(t^2+c)$, questo sarà vero per $t^2+c!=pi/2+kpi$. Ovvero, la soluzione trovata è solo un arco di sinusoide, non tutta una sinusoide. Questa poi si raccorda in maniera liscia con le costanti, e non può cambiare la monotonia. Il resto segue come diceva V.G.E.: le soluzioni sono tutte di tipo: una retta, oppure una semiretta, un arco di sinusoide, un'altra semiretta. (a parte in un intorno di $t=0$ dove può esserci un cambio di monotonia).

(edit)tolto un "crescente" di troppo.

Ultima modifica di dissonance il 04/07/2008, 21:48, modificato 2 volte in totale.

Certo, è un errore.

Probabilmente indotto da una risoluzione dell'integrale fatta senza tenere conto delle condizioni imposte dalla equazione differenziale che si sta risolvendo.

Questi sono i rischi del metodo urang-utang©

Si, abbiamo scritto contemporaneamente...
Strano però, mi sembrava un libro così ben fatto...

Ho capito, io rispondevo alle prime righe del tuo post, senza sapere che avresti menzionato la scimmietta nel tuo P.S.

Quanto al Pagani - Salsa, non lo conosco. Ma un errore può ben capitare(*). Soprattutto se ci sono mucchi di esercizi.

Certo, la disciplina che impone la risoluzione corretta di una equazione a variabili separabili magari dà qualche chance in più di evitare questo tipo di errori.
E le cose che dici nel tuo P.S. sono ok.


(*) Vedi, per una conferma "osservativa":
https://www.matematicamente.it/forum/log ... tml#234421

Morale della favola: fare sempre attenzione a separare le variabili. E' davvero facilissimo fare clamorosi errori, specialmente se non valgono teoremi di esistenza e unicità.

Grazie mille a F.Patrone e a V.G.E. : mi avete salvato da una probabile raffica di strafalcioni!

scusate, ma per tagliare la testa al toro, qualcuno potrebbe dimostrare che $ sin(t^2 + k) $ preso in un intorno lontano dalla x in cui vale (per la prima volta) $1$ non soddisfa l'equazione?
così potremmo finalmente trovare una falla del metodo u.u.!!