da Pachito » 03/02/2005, 21:51
Si dice che una funzione è integrabile in senso improprio se esiste finito...ecc. , ma l'integrale in senso improprio è una estensione dell'integrale di Riemann quando la funzione integranda non è limitata o quando non è limitato l'intervallo d'integrazione, senza supporre che questo converga o meno. Almeno credo. Forse Luca potrà confermare.
Comunque per risolverlo devi studiare l'integrando nei punti 'critici' che avevo detto prima, ovvero 0 e +inf.
Per studiarlo a +inf ti conviene separare l'integrale
(x-senx)/x^a = 1/x^(a-1)+ senx/x^a
per convergere 1/x^(a-1) deve essere che a-1>1 ovvero a>2
(per verificarlo puoi trovarti la primitiva che sarà anch'essa parametrizzata da a)
D'altra parte se a>2 converge anche senx/x^a, basta che maggiori senx con 1 e ti ritrovi 1/x^2 che converge a +inf.
Per convergere in 0 bisogna studiare l'andamento dell'integranda.
x-senx va a 0 come x^3 e dunque l'integranda in 0 globalmente si comporta come 1/x^(a-3)
Quest'ultimo converge se a-3<1 dunque a<4
(per verificarlo come al solito puoi vedere la primitiva)
Dall'unione delle due relazioni che devono valere contemporaneamente otteniamo: 4<a<2