Integrale con parametro.

[lorandrum]

Ciao.
Mi si chiede per quale valore di 'a' il seguente integrale è improprio:

integrale tra 0 e +infinito di [(x-senx)/x^a]dx

Mi servirebbe capire il metodo generale con il quale approcciarmi a questo tipo di esercizi. Grazie.

[Pachito]

Il quesito non mi sembra ben posto e ti spiego perchè:
per integrale improprio si intende quell'integrale il quale abbia intervalli di integrazione infiniti o che abbia all'interno di questi intervalli una funzione che diverge.
Per capirsi 'integrale tra 0 e +infinito' è già di per se un integrale improprio in quanto un estremo di integrazione è +infinito. Inoltre in 0 la funzione integranda potrebbe divergere e sarebbe anche per questo un integrale improprio.
La domanda forse è piuttosto:
"per quale valore di 'a' il seguente integrale improprio converge?"
Prova a risolvere ora e poi dimmi...

[lorandrum]

Ti dirò: non mi risulta. Infatti un integrale lo diciamo improprio quando esiste finito, nel caso ovviamente di funzioni che divergono nell'intervallo in cui si integra o se l'intervallo di integrazione è infinito. Potrei ovviamente sbagliarmi.
A parte questo, non so proprio risolverlo. Se potete aiutarmi ve ne sono grato, è abbastanza urgente.

[Pachito]

Si dice che una funzione è integrabile in senso improprio se esiste finito...ecc. , ma l'integrale in senso improprio è una estensione dell'integrale di Riemann quando la funzione integranda non è limitata o quando non è limitato l'intervallo d'integrazione, senza supporre che questo converga o meno. Almeno credo. Forse Luca potrà confermare.
Comunque per risolverlo devi studiare l'integrando nei punti 'critici' che avevo detto prima, ovvero 0 e +inf.
Per studiarlo a +inf ti conviene separare l'integrale
(x-senx)/x^a = 1/x^(a-1)+ senx/x^a
per convergere 1/x^(a-1) deve essere che a-1>1 ovvero a>2
(per verificarlo puoi trovarti la primitiva che sarà anch'essa parametrizzata da a)
D'altra parte se a>2 converge anche senx/x^a, basta che maggiori senx con 1 e ti ritrovi 1/x^2 che converge a +inf.
Per convergere in 0 bisogna studiare l'andamento dell'integranda.
x-senx va a 0 come x^3 e dunque l'integranda in 0 globalmente si comporta come 1/x^(a-3)
Quest'ultimo converge se a-3<1 dunque a<4
(per verificarlo come al solito puoi vedere la primitiva)
Dall'unione delle due relazioni che devono valere contemporaneamente otteniamo: 4<a<2

[lorandrum]

Beh, ti ringrazio.
Posso farti una domandina? Mi sovviene or ora un dubbio.
Dici, ad esempio, che: "per convergere 1/x^(a-1) deve essere che a-1>1 ovvero a>2". Ma se (a-1)=0 non converge comunque?

[Pachito]

No. Se a = 1 allora 1/x^(a-1) = 1 cioè è una costante che integrata all'infinito diverge.