Convergenza di Integrali

[Bubba]

Eccomi di nuovo stavolta pero' con degli integrali:
Studiare la convergenza dell'integrale al variare del parametro k positivo
Integrale, da 1 a +inf, di 1/(2*t^2+4*t^k+1)dt
Ecco io ho studiato che per studiare la convergenza bisogna in pratica risolvere l'integrale come un definito, sostituendo a +inf una lettera,mettiamo b, e poi fare il limite per b->+inf della primitiva...il problema è che in questo caso non è possibile risolvere l'integrale se nn si conosce k, percio' nn so proprio che fare!!!
Poi ve ne propongo un altro:
Integrale da 0 a 4 di (3528*t)/(t^(3/2)+t^(5/2))dt
e anche qui non capisco: la convergenza di un integrale nn si studia solo quando gli estremi o uno degli estremi sono infinito???Se non è cosi' qualkuno potrebbe spiegarmi cosa vuol dire studiare la convergenza di un integrale perchè a lezione ho scritto cosi'..


Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news

[Luca77]

Devi sostanzialmente dire se l'integrale e' finito o no, senza calcolarlo. Sono entrambi molto semplici; ad esempio nel primo integrale il termine, al denominatore che domina, e' dato da t^2 se k<=2, mentre e' dato da t^k se k>2. Ne segue che l'integrale dato ha lo stesso comportamento di 1/t^2 oppure di 1/t^k, e la convergenza di questi integrali e' nota. Analogamente procedi con il secondo integrale.

Luca77
http://www.llussardi.it

[Bubba]

Quindi vediamo nel secondo caso sopra domina t perchè c'è solo lui e sotto domina t^(5/2), quindi l'integrale ha lo stesso comportamento di 1/t^3/2 quindi converge. Giusto?

Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news

[Bubba]

Ora posto altri integrali di quest tipo con le mie relative deduzioni, prego qualcuno di dirmi se sbaglio!
Ah non so perchè ma le soluzioni dicono che l'integrale che ho svolto nel post precedente converge si, ma perchè dello stesso ordine di 1/t^(1/2)...

1-Integrale da 0 a 4 di (t^(k/4))/(t^(1/2)+t^(3/2))dt:
questo è dello stesso ordine di (t^(k/4))/(t^(3/2)), cioè di t^((k/4)-(3/2)); quindi per essere convergente deve risultare l'esponente>1 cioè k>10.

2-Integrale da 1 a 28 di (5*t)/((t-1)^k)dt:
questo è dello stesso ordine di t/t^k, cioè t^(1-k), quindi deve risultare 1-k>1 cioè k<0.

Ora vi riporto le soluzioni:
1-L'integrando è dell'ordine di 1/t^((1/2)-(k/4)) quindi l'integrale è convergente quando k>-2

2-Per k<1

Conclusione: non ne ho fatto uno giusto!!??Help!!




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[Bubba]

Ho capito l'errore, se considero t^x allora perchè sia convergente deve essere x<-1

Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news

[Bubba]

No no no ho detto un sacco di fesserie...non ho capito come deve essere per essere convergente!!
1/t^x è convergente per ogni x positiva, o sbaglio??

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[Luca77]

No, per x>1, ma l'integrale tra 1 e +infinito.

Luca77
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[Bubba]

Si va bene ma allora come caspio faccio a sapere se converge o non converge se non c'è l'integrale tra 1 e +infinito???Non è che qualkuno potrebbe scrivere tutti i passaggi per uno degli integrali in modo che possa capire qualcosa in più, se avete voglia e tempo ovviamente..

Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news

[Luca77]

Ma scusa, quando dici converge, non ti riferisci all'integrale? L'integrale tra 1 (o un'altra costante strettamente positiva) e +infinito di 1/t^a in dt converge se e solo se a>1. Invece l'integrale tra 0 e 1(o una costante positiva arbitraria) di 1/t^a in dt converge se e solo se a<1. Questi due teoremi sono semplicissimi esercizi di calcolo di integrali impropri. Poi con i confronti asintotici che ti suggerivo nel mio primo post, riconduci lo studio dei tuoi due integrali a quelli di funzioni del tipo 1/t^a.

Luca77
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