sistema LKT

[mica81]

vorrei sapere se ho fatto bene questo esercizio...
devo minimizzare la funzione x+2y soggetta a vincolo x^2 + y^2 <= 1

allora io ho ragionato cosi:
la funzione è continua in un insieme chiuso e limitato e quindi ammette massimi e minimi. il gradiente della funzione si annulla e quindi non ci sono punti stazionari che soddisfino la condizione di necessarietà.
introduco la funzione lagrangiana ottenuta come:
L = x + 2y +l(x^2 + y^2 - 1) dove l è un moltiplicatore di lagrange.
devo risolvere il sistema composto dalle equazioni:
1 + 2lx = 0 (derivata parziale risp. a x della lagrangiana)
2 + 2ly = 0 (derivata parziale risp. a y della lagrangiana)
l(x^2 + y^2 - 1)=0 (il vincolo)

dalla prima equazione ottengo: x=-1/2l (1)
e dalla seconda: y = -1/l (2)
sostituendo questi due valori nel vincolo ottengo l'equazione di secondo grado 4l^2 - 5 =0 le cui soluzioni sono +- sqrt(5)/2
caso l = sqrt(5)/2
introduco tale moltiplicatore in (1) e (2)e ottengo x = -1/sqrt(5)
y = -2/sqrt(5)
caso l = -(sqrt(5)/2)
faccio lo stesso lavoro di sopra, e ovviamente ottengo gli stessi risultati cambiati di segno:
x = 1/sqrt(5) y = 2/sqrt(5)
posso concludere che il punto ottenuto con l = sqrt(5)/2 è di minimo mentre l'altro punto è di massimo.
ho fatto bene? ^_^

[mica81]

non mi dite nulla?

[asdf]

Dovrebbe essere giusto. In effetti la funzione non ha estremanti LIBERI, ma ne ha solo "sul" vincolo, come hai fatto tu.

[lupo grigio]

caro mica
non discuto se il procedimento da te usato sia o no esatto dal punto di vista formale, posso solo dire che nel caso specifico il problema si poteva risolvere in maniera assai più semplice. Dal momento che la funzione di cui si vuol trovare il massimo [o il minimo]...

f(x,y)= x+2*y [1]

...è <i>lineare</i>in x e y, essa non presenta nè massimi nè minimi liberi [cioè non vincolati...]. Se introdiciamo vincoli è faciole dimostrare che massimi o minimi, se esistono, si trovano in punti estremi, punti cioè in cui il vincolo diviene <i>ugualianza</i>. In questo caso dunque si deve massimizzare la funzione f(x,y)=x+2*y con la condizione...

x^2+y^2=1 [2]

Ciò porta a trovare il massimo della fuznione della sola y...

f(y)=(1-y^2)^1/2+2*y [3]

... massimo che si trova facilmente essere yo=2/(5^1/2). Il punto di massimo che risolve il problema sarà dunque [xo,yo]=[1/(5^1/2),2/(5^1/2)]. In modo del tutto analogo si trova il punto di minimo...

cordiali saluti!...

lupo grigio

[mica81]

ok grazie lupo grigio. mi sembra di aver capito. però all'esame orale il mio prof vuole che svolga tali problemi con il metodo dei moltiplicatorei di lagrange nel caso vi siano vincoli di disuguaglianza non lineari.