problema di cauchy

[enrico999]

qualcuno potrebbe spiegarmi come fare questo esercizio:

data l'equazione differenziale: y' = a x^2 y
risolvere il problema di cauchy per x=0 e y=a

Io non so proprio da dove cominciare...

[enrico999]

up

[Marco83]

E' molto semplice:
ricordati che y'=dy/dx, quindi puoi riscrivere il tuo problema come dy/dx=ax^2*y.
Escludendo la soluzione banale y=0 (che è comunque una soluzione del tuo problema) puoi moltiplicare ambo i membri per dx e 1/y, ottenendo dy/y=ax^2*dx.
Integrando ambo i membri ottieni ln(abs(y))=ax^3/3+C che si può riscrivere come:
y=C*exp(ax^3/3).
Introducendo la condizione iniziale:
a=C*exp(a*0/3) quindi C=a
Ottieni pertanto la soluzione
y=a*exp((ax^3)/3)

[enrico999]

non ho capito, allora, l'integrale generale della funzione è:

y = k * e^((ax^3)/3)


ora devo risolvere il problema di cauchy per x=0 e per y=a.


potresti farmi vedere come hai fatto con tutti i passaggi??? altrimenti non capisco...

CIAO e Grazie

[Marco83]

I passaggi li ho fatti tutti.
L'integrale generale è quello che hai scritto.
Cahucy non è caratterizzato da due condizioni...
La condizione esatta è:
per x=0, y è pari ad a, quindi sostituendo nell'integrale generale x=0 e Y=a ottieni un'equazione nell'incognita k.
Risolvendo tale equazione hai il valore della costante.
Lo ributti nell'integrale generale e hai finito