differenziabilità della funzione inversa

[bernardo]

Ciao a tutti volevo chiedere la seguente cosa, se si ha una funzione vettoriale $f:A->\R^p$ A aperto di $\R^n$, differenziabile e iniettiva, allora anche
$\f^(-1):f(A)->A$ è differenziabile? E se f è di classe C^k anche $\f^-1$ Se non è vero servono alcune ipotesi per cui questa cosa sia vera?
grazie ciao

[dissonance]

Questa cosa funziona precisamente come nel caso unidimensionale. Ricordiamo che:
Teorema. Sia $f : (a, b)\toRR$ invertibile e derivabile. Chiamiamo $g=f^(-1)$. Per ogni $x\in(a, b)$ tale che $f'(x)!=0$, $g$ è derivabile in $y=f(x)$ e risulta $g'(y)=1/(f'(x))$.

Questo teorema vale pari pari se ad $(a, b)$ sostituisci il tuo aperto $A$ e ad $RR$ sostituisci $RR^n$. Chiaramente non parlerai più di $f'(x)!=0$, ma di $df(x)\ "non singolare"$. (Non so che simboli usi tu per il differenziale - o forse ragioni in termini di matrici Jacobiane? E' esattamente la stessa cosa comunque). E naturalmente invece di $1/(f'(x))$ avrai $(df(x))^(-1)$.

Per quanto riguarda la regolarità della funzione inversa, la tua congettura è vera. Se $f$ è di classe $C^(k)$, differenziabile e con differenziale non singolare in tutto un aperto, anche l'inversa è non solo differenziabile ma anzi $C^(k)$.

Le dimostrazioni, se vuoi, le vediamo. Si tratta di ripercorrere passo passo la dimostrazione del teorema di cui sopra, se non ricordo male. E per la regolarità della funzione inversa, dal momento che parliamo di dimensioni finite, ci possiamo ricondurre al caso unidimensionale.

[bernardo]

Grazie della risposta, e non ti preoccupare della dimostrazione, però ho ancora un dubbio:
Visto che tu parli di jacobiana non singolare,e quindi quadrata, vuol dire che questa cosa vale solo per funzioni da A aperto di $\R^n$ ad $\R^n$ oppure può valere anche per funzioni da $\R^n$ ad $\R^p$ con p diverso da n?
Grazie per la pazienza...

[NOKKIAN80_]

se si parla di una funzione $f:A sube RR^n->RR^m, A$ aperto con $1<=m<n$ basta trovare un minore non nullo della matrice jacobiana (le matrici jacobiane non sono in generale quadrate!)

[dissonance]

Il discorso di cui sopra vale per funzioni da un aperto di $RR^n$ a valori in $RR^n$ - con la stessa $n$. Altrimenti come notavi tu la matrice Jacobiana non è quadrata e quindi non ce la caviamo con $(J_f (x))^(-1)$ (come convenzione, uso $J_f (x)$ per la matrice Jacobiana e $df(x)$ per il differenziale in $x$).

In un caso più generale, qualcosa si potrà fare lo stesso di sicuro. Sul Rudin Principi di analisi matematica mi ricordo fosse menzionato un "teorema del rango" che dirimeva questioni analoghe a questa.

P.S.: Credo sia lo stesso teorema a cui fa riferimento nokkian. Ma mi ricordo che non era proprio immediato - use caution!

[Livius]

se si parla di una funzione $f:A sube RR^n->RR^m, A$ aperto con $1<=m<n$ basta trovare un minore non nullo della matrice jacobiana (le matrici jacobiane non sono in generale quadrate!)

Di ordine m, se non erro