disequazione trigonometrica

[mirela]

Scusate se vi disturbo ancora ma volevo sapere quando il sen(1/x)>0!
scusate ancora!!!grazie

mirella

[goblyn]

Ciao Mirella! (Ci ho messo un po' ma alla fine ho capito che ti chiami così e non mirela...)

Intanto notiamo che la funzione sin(1/x) è dispari. Quindi supponiamo x>0. Per x<0 tale funzione è positiva dove per x>0 è negativa. E viceversa.

Dunque:

<center><font color=green>sin(1/x)>0

2n*pi < 1/x < pi + 2n*pi</font id=green></center>

per ogni n appartenente a N (e non a Z perché abbiamo supposto x>0).
L'ultima disequazione si può scrivere come sistema di due disequazioni:

<center><font color=green>1/x >2n*pi<div align=right>[1]</div id=right>

1/x < pi(1+2n)<div align=right>[2]</div id=right></font id=green></center>

che risolte danno:

<center><font color=green>x < 1/(pi*2n)<div align=right>[1]</div id=right>

x > 1/[pi*(2n+1)]<div align=right>[2]</div id=right></font id=green></center>

Dato che 1/(pi*2n) > 1/(pi*(2n+1)) e la [1] e la [2] devono valere contemporaneamente, si ha:

<center><font color=red>1/[pi*(2n+1)] < x < 1/[pi*2n]<div align=right>x>0</div id=right></font id=red></center>

Per n=0 si ottiene l'intervallo aperto x > 1/pi. Ciò significa che per x>1/pi la disuguaglianza è sempre vera. (E quindi è sempre falsa per x<-1/pi, essendo la funzione sin(1/x) dispari).

<font color=orange>goblyn</font id=orange>