Quesito di Analisi 2

[Sam]

Salve a tutti volevo chiedere se c'era qualcuno che poteva risolvere i miei dubbi riguardo all'esame di analisi 2 che ho appena fatto.

Era un test a risposta multipla, la domanda in questione diceva:

Sia F: R^2 --> R una funzione tale che la sua derivata direzionale vale 3*a^2+b^3 per ogni (a,b) diverso da (0,1) . Tra le risposte da valutare c'erano le seguenti:

F non è differenziabile
F non è continua

Il professore alla fine ha detto che in effetti la funzione data non è differenziabile e non è neppure continua, rimandando però la spiegazione alla correzione dei compiti. siccome io dovrei dare l' orale prima di quella data vorrei che qualcuno mi spiegasse se possibile il perchè della non differenziabilità e della non continuità. Grazie mille

[goblyn]

Ciao Sam. Il fatto che per una certa direzione (in questo caso [0 1], cioè la direzione parallela all'asse y) non sia definita la derivata direzionale implica che f non sia differenziabile. La definizione di differenziabilità infatti implica che esista <b>ogni</b> derivata direzionale.

Se f non è derivabile nella direzione h=(0,k) vuol dire che:

lim(k-->0) [f(x,y+k)-f(x,y)]/norma(h)

non esiste o esiste ma infinito.

Tale fatto non implica automaticamente che f non sia continua lungo y.
Ci penserò!

ciao!

<font color=orange><h2>goblyn</font id=orange></h2>





Modificato da - goblyn il 16/06/2003 00:33:01

[Sam]

Ciao Goblin, grazie mille per l'interessamento! Io avevo in realtà interpretato il testo in modo diverso: per come l'ho capito io non è escluso che la derivatà parziale rispetto a y esista , semplicente non soddisfa 3*a^2+b^3 (cioè non può valere 1). Se fosse l 'interpretazione corretta, si può concludere ugualmente che la funzione non è differenziabile?

[goblyn]

In effetti il testo è un po' ambiguo.

Interpretazione 1:

F è definita sulle coppie (a,b) di R^2. In questo caso il testo dice che esiste la derivata direzionale (<u>ma quale? in quale direzione?</u>) e vale 3a^2+b^3. Magari s'intende che per ogni direzione la derivata direzionale è uguale (Ma varia cambiando il punto (a,b)).
Eccetto che nel punto (0,1). Ma cosa succede in (0,1)? non è dato saperlo a quanto pare...
Ad ogni modo, affinché in un punto (a,b) la derivata direzionale sia indipendente dalla direzione, occorre che sia nulla. Se così non fosse si avrebbe un punto angoloso e la F non sarebbe differenziabile. Quindi: o derivata direzionale ovunque nulla (cosa che non è, data la formula del testo), oppure punti angolosi ovunque e quindi non differenziabilità.

Interpretazione 2:

F è definita sulle coppie (x,y) di R^2 e (a,b) è il versore che dà la direzione della derivata direzionale. Questa interpretazione è quella che ho adottato io. In questo caso però la derivata direzionale dovrebbe essere funzione anche di x e y e non solo di a e b. A meno che la derivata direzionale per una data direzione sia uguale per ogni (x,y). Cioè la derivata direzionale lungo il versore (a,b) è costante al variare di (x,y) (eccetto che nella direzione (0,1)).
Quindi la F(x,y) avrebbe derivata costante lungo ogni direzione (ma diversa direzione per direzione).
Se (a,b) è un versore possiamo scriverlo come (cos(t),sin(t)). Se fai un grafico per t compreso tra -pi/2 e pi/2 (comprendendo così tutte le direzioni) vedi che agli estremi la derivata vale rispettivamente -1 e +1. Cioè c'è un salto nella derivata lungo la direzione verticale (proprio quella esclusa dal testo). E questo salto c'è in ogni punto (x,y) del piano. E' chiaro che la situazione è a dir poco patologica... Prova a immaginarlo in 1 dimensione: una funzione che in ogni punto ha la derivata discontinua... chiaramente non può essere differenziabile. E faccio fatica a immaginarmela anche continua.
Morale: il caldo e l'assenza d'aria condizionata mi sta stroncando... So di non essere stato granché rigoroso ma magari qualche spunto te l'ho dato! Ora vado a fare rifornimento idrico... così magari diminuisco la concentrazione di cavolate nei miei messaggi...

goblyn




Modificato da - goblyn il 17/06/2003 00:51:09

[Sam]

L'interpretazione giusta è sicuramente la seconda: io non l'ho scritto ma l'enunciato diceva chiaramente che la derivata direzionale vale 3*a^2+b^3 per ogni versore (a,b) diverso da (0,1).Vorrei immaginare come è fatta questa funzione,però non mi è ben chiara la faccenda del salto lungo la direzione verticale che hai detto. Se la derivata lungo una direzione (eccetto la direzione dell'asse y di cui non si sa nulla) è costante al variare di (x,y) significa che lungo quella direzione la funzione in due variabili cresce in maniera costante, cioè che la funzione in una variabile che si ottiene restringendo la funzione in due variabili a una data direzione è una retta. Se così fosse io immagino la funzione in due variabili come una superficie frastagliatissima. Sono giuste queste considerazioni?

[goblyn]

Sì, le tue considerazioni sono quelle che ho fatto anch'io. Anch'io me la immagino come una superficie frastagliata.
Per quanto riguarda il salto della derivata... intendo dire che se calcoli la derivata lungo una direzione [a b] e lungo una direzione [a -b] (con b positivo), facendo tendere a a 0 ottieni due numeri diversi (+1 e -1). eppure [0 b] e [0 -b] indicano la stessa direzione (quella verticale). Allora in ogni punto, guardando il comportamento della derivata direzionale al variare della direzione, vedi un salto passando per la direzione verticale.