Dominio di una funzione integrale

Messaggioda Sam » 17/06/2003, 21:05

Vorrei sapere se c'è qualcuno che può darmi delucidazioni su questo argomento che a quanto pare non è trattato da alcun testo di analisi!

Dagli esercizi svolti in classe mi sembra di aver capito il seguente procedimento per trovare il dominio di una funzione integrale:

1) Si determina il dominio della funzione integranda: dove essa esiste ed è continua sicuramente è integrabile.
2) Nei punti dove la funzione integranda non è definita (ad esempio avvicinandosi ad essi tende all'infinito) si valuta se è integrabile in senso improprio e se l'integrale improprio converge. Se converge allora la funzione è cmq integrabile .
3) A questo punto per decidere il dominio della funzione integrale si sceglie tra gli intervalli di integrabilità della funzione integranda quello che contiene il primo estremo di integrazione della funzione integrale.

Questo procedimento non mi è però del tutto chiaro: perche la funzione integrale non può divergere? E perchè si deve scegliere come dominio l'intervallo che contiene il primo estremo di integrazione??

Inoltre ho visto che quando la funzione integranda presenta una discontinuità eliminabile la si considerà integrabile: perchè? E se avesse una discontinuità di prima specie (a 'salto') come ci si comporta,è integrabile o no?

Grazie mille a tutti quelli che avranno la pazienza di rispondermi ;)
Sam
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 5
Iscritto il: 15/06/2003, 01:42

Messaggioda goblyn » 18/06/2003, 13:41

La funzione integrale può divergere.
Se diverge per x che tende a + o - inf sei d'accordo con me che non c'è nessun problema.
Se diverge per x che tende a q (q numero reale) le cose si complicano.
Supponiamo che la funzione integrale F diverga per x che tende a q da sinistra. Allora nessun punto x>=q può appartenere al dominio di F. Se così fosse la F(x) sarebbe = a infinito per x>=q. Infatti F(x) (per ogni x) è un numero che "si porta dietro" tutto l'andamento della f (funzione integranda) dal primo estremo d'integrazione fino a x. Quindi se in q la F (e quindi anche la f) diverge, in x (con x>=q), la F non può essere un numero reale ma solo infinito.
Ricordati che l'integrale è un'operazione che "ha memoria" della funzione integranda.
A questo punto dovrebbe essere chiaro anche perché si sceglie l'intervallo contenente il primo estremo d'integrazione. Se così non fosse l'integrale sarebbe esteso ad una regione in cui è compreso un punto di divergenza e, per quanto detto prima, il risultato sarebbe infinito.

Pensa al significato geometrico dell'integrale di Riemann. Puoi calcolare l'integrale da a a b di una funzione f se esiste finito il valore dell'area compresa tra la f e l'asse x (con l'opportuno segno).
Immagina una funzione con discontinuità eliminabile: che problema c'è nel calcolare l'area in un intervallo che contenga tale punto di discontinuità? Lo stesso se c'è un salto. Prova a fare un grafico e te ne convincerai! Del resto, in questo caso, basta spezzare l'integrale in due: fino al punto di salto e dopo il punto di salto.

L'integrale è un'operazione che non si cura del fatto che ci siano punti di discontinuità integrabili. Addirittura potrebbero essere un'infinità numerabile (ma non di più se l'integrale è di Riemann).
Comunque l'intuizione geometrica aiuta moltissimo per capire se la funzione è integrabile secondo Riemann!

goblyn



Modificato da - goblyn il 18/06/2003 14:42:50
goblyn
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 89 di 829
Iscritto il: 10/04/2003, 15:03

Messaggioda Sam » 22/06/2003, 09:58

Grazie Goblyn sei stato molto chiaro!
Sam
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 5
Iscritto il: 15/06/2003, 01:42


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite