INTEGRALI

[manu]

Qualcuno mi dice come si risolvono questi integrali per favore?

integrale di e^x/(1+ e^x)dx

integrale di 1/(1+ radice di x)dx

integrale di 1/(1 + e^x)dx

integrale di xlogx dx


Grazie in anticipo,
ciao

[Camillo]

Ciao,
ecco la soluzione dei 4 integrali proposti:

1)integrale(e^x/(1+e^x)dx ; poichè il numeratore è la derivata del

denominatore si può subito concludere che l'integrale vale :

ln(1+e^x)+C ; SE PERO' CI FOSSE QUALCHE DIFFICOLTà A VEDERLO , ALLORA

LO SI PUO' INTEGRARE PER SOSTITUZIONE PONENDO :
e^x=t da cui x= ln(t) e quindi dx=dt/t. Perciò :
integrale (e^x/1+e^x dx) = integrale(t/(1+t)*(1/t)dt)=integrale

(1/(1+t)dt)=ln(1+t)+C =ln( 1+e^x)+C.

2)integrale(dx/(1+radx)) usiamo il metodo di sostituzione ponendo :

1+radx=t e quindi : radx = t-1 e poi x= t^2-2*t+1 e infine :
dx=( 2*t*d-2)*dt=2*(t-1)*dt e sostituendo nell'integrale iniziale si

ha:
integrale ( 2*(t-1)*dt/(1+t-1)=2*integrale(t-1)/t dt = 2*integrale

(1-1/t)dt = 2*t-2*ln(t) +C e quindi =2*(radx +1)-2* ln(radx+1)+C.

3) integrale di ( dx/(1+e^x)) usiamo metodo di sostituzione ponendo :
e^x = t e quindi : x=ln t da cui dx =dt/t.
Quindi l'integrale dato si trsforma in : integrale (dt/(t*(1+t))
A questo punto si scompone 1/t*(1+t) = A/t+B/(1+t) e con semplici

calcoli si ottiene: A=1 ; B = -1 e quindi l'integrale diventa :
integrale ( dt/t) - integrale ( dt/1+t) = ln|t|-ln|1+t| +C =
ln ( e^x) -ln ( 1+e^x)+C= x-ln(1+e^x)+C.

4) Questo lo si può risolvere integrando per parti così ( considero

che il logaritmo sia in base e ):


integrale ( x*log(x))dx= integrale (D(x^2/2)*log(x)dx =

x^2/2*log(x)-integrale ( x^2/2 *D(log (x))dx) = x^2/2*log(x)-

integrale ( x^2/2*1/x*dx)= x^2/2*log(x)-1/2*integrale (x dx ) =
x^2/2*log(x)-1/4*x^2+C.

Adesso ti consiglio di fare da sola qualche esercizio, preso dal
libro.
ciao
Camillo
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[manu]

Grazie mille, ti sei spiegato molto bene,
un saluto
Manuela