integrali doppi

[zwan9]

Potreste auitarmi a risolvere questo integrale?
int doppio su C di x/(1 + e exp y)dxdy, C={(x, y)apparten a R2:
x<=4, y<=0, y+log(x/2)>=0}
ho problemi a determinare gli estremi di integrazione..
Grazie!
zwan5

[goblyn]

Ciao zwan!

L'integrale si può così scrivere (te ne rendi conto disegnando il dominio d'integrazione e fissando prima x per poter così integrare lungo y e , successivamente, integrare lungo x):

<font color=red>INT[2 ; 4] </font id=red><font color=green>INT[-log(x/2) ; 0] x/(1+exp(y+1)) dy</font id=green> <font color=red>dx</font id=red>

Operiamo la sostituzione t=1+exp(y+1):

y = -1 + log(t-1)

dy = dt/(t-1)

L'integrale diventa:

<font color=red>INT[2 ; 4] </font id=red><font color=green>INT[1+2e/x ; 1+e] x/(t*(t-1)) dt</font id=green> <font color=red>dx</font id=red>

Una primitiva dell'integranda in verde è:

<font color=green>x*log((t-1)/t)</font id=green>

che, calcolata tra gli estremi d'integrazione, dà:

x * ( log(x/2+e) - log(1+e) )

L'integrale diventa allora:

<font color=red>INT[2 ; 4] x * ( log(x/2+e) - log(1+e) ) dx</font id=red>

Integrando per parti si ottiene una primitiva dell'integranda in rosso:

<font color=red>(1/2*x^2-2e^2)*log(x+2e) + ex - (1/4+1/2*log(2+2e))*x^2</font id=red>

che calcolata tra gli estremi dà:

(2e^2-8)*log((1+e)/(2+e)) - 3 + 2e

Bene, ora sta a te trovare gli errori di calcolo...

goblyn