Differenziabilità

[dazuco]

chi mi aiuta a risolvere questo esercizio?

sudiare la continuità e la differenziabilità di
z = (|1 - xy|) / ((x^2)(y^2) + 2xy + 2)

soprattutto come procedere.
E' corretto studiarla nel dominio y=1/x perchè critico per il modulo e in quanto il denominatre mai nullo? Se si come devo fare?

grazie

[Anto]

Forza ragazzi, lunedì abbiamo il compito di Analisi !

[goblyn]

Sì i problemi, se ci sono sono nei punti tali che xy=1.

chiamiamoli genericamente P.

P=(x;1/x)

z(x,y)=|1-xy|/(1+(1+xy)^2)

z(P)=0

[z(P+(h;0))-z(P)]/h --> |h|/(5h|x|) --> ?
[z(P+(0;k))-z(P)]/k --> |k|/(5k|y|) --> ?

quindi non esistono le derivate parziali (esistono quella destra e quella sinistra).

z non è quindi differenziabile.

Ciò vuol dire che nei punti P non esiste il piano tangente (ne esisteranno uno destro e uno sinistro...). Ecco un grafico:

<img src="http://www.elet.polimi.it/upload/frizzi/superficie.jpg" border=0>

[dazuco]

ANCORA INFINITAMENTE GRAZIE.

[dazuco]

Scusa goblyn

ho capito cosa fare in questi casi. L'unica difficoltà è nel calcolare le derivate parziali, ossia, quando il punto critico è (0,0) è facile calcolare f' x (x,0) e rispetto alla y. In pratica restringo il dominio a due segmenti coincidenti con gli assi cartesiani. Ma in questo esercizio non ho ben capito i passaggi per arrivare a calcolare le derivate parziali. Non posso sostituire alla y = 1/x quando calcolo la der. parz. rispetto alla x. Potresti spiegarmi i vari passi da fare?
Praticamente devo costruire questi due segmenti (anche tra loro ortogonali) in punto generico dell'iperbole y = 1/x.

Ti ringrazio

[dazuco]

Sarebbe sufficiente aver individuato che nel punto (1,1) non esistono derivate parziali prime per arrivare alla conclusione generale che la z non e differenziabile?

[fireball]

Ciao goblyn! Scusate questa mia irruzione fuori tema, ma puoi dirmi, Tommaso, come hai costruito quel grafico? Con MathLab?



Modificato da - fireball il 14/09/2003 11:12:03

[goblyn]

Sì il procedimento è analogo a quando il punto in questione è l'origine. Infatti, in quel caso, fai:

[z((h;0))-z((0;0))]/h

Stavolta il punto non è l'origine, ma un punto P. Siccome il punto P sta sull'iperbole, anziché scriverlo come (x;y) l'ho scritto come (x;1/x). A quel punto bisogna aggiungere l'incremento (poi tenderà a zero):

P+(h;0)= (x;1/x) + (h;0) = (x+h;1/x)

Come dici te, per le derivate parziali, basta considerare due direzioni ortogonali (e parallele agli assi), restringere la funzione a quelle direzioni e calcolarne il limite.

Se non esistono le derivate parziali allora non può esistere il piano tangente alla superficie ==> z non è differenziabile

ciao!



Modificato da - goblyn il 14/09/2003 11:15:57