cosa è il limite?

[verdelli]

salve a tutti sono nuovo del forum,ho intenzione di iscrivermi all'università e sto studiando un pò di matematica.
nello studiare i limiti,non sono riuscito a capire bene cosa sono e a cosa servono...se qualcuno mi potesse aiutare...sono confuso nel senso che non so il limite se è il valore che assume la funzione oppure è un numero a cui tende la funzione per x che tende ad a ove a è un intorno di x.
chiedo chiarezza grazie

[Camillo]

ciao,
se la funzione è continua nel punto allora il limite è anche il valore cha la funzione assume in quel punto.
Più in generale , quando la funzione non è continua , non è così , cioè il limite è quel valore a cui la funzione si avvicina sempre di più man mano che x si avvicina sempre di più a x0.
Ad esempio se la funzione è : y=x+2 , il limite per x che tende a 3 vale 5 : la funzione infatti è continua e il limite coincide con il valore che la funzione assume per x=3 , cioè 5 appunto; man mano che ci si avvicina a 3 il valore della funzione si avvicina sempre di più a 5 ; anzi addirittura in questo caso( funzione continua) 5 è addirittura il valore che la funzione assume in x=3.
Se invece la funzione di cui devi calcolare il limite fosse così definita :
y= x+2 per tutti i valori di x escluso x=3 ; per x=3 definisco che la funzione valga : 35.
Bene anche per questa funzione il limite per x che tende 3 vale 5 ( più mi avvicino a x=3 e più i valori della funzione si avvicinano a 5) ; ma 5 non è certo il valore che la funzione ha in x=3 , perchè tale valore è : 35 ; la funzione è detta discontinua in x=3.
Spero di non averti confuso di più le idee !
Se vai alla home page di "matematicamente" e poi vai a Appunti di analisi , lì troverai : Limiti: introduzione scheda etc.E' molto ben fatto anche se è pensato per studenti di università.
Se hai bisogno fatti sentire .
Che facoltà hai scelto ?
ciao
Camillo



Modificato da - camillo il 13/09/2003 13:31:50

[goblyn]

Addirittura la funzione può anche non essere definita nel punto in cui si calcola il limite!

[Camillo]

Perfetto, goblyn : mi dai spunto per una ulteriore spiegazione .
Ad esempio se definisco la funzione così :
y=x+2 per x diverso da 3 e non la definisco per niente in x=3
( quindi in questo caso il domino è:(-00 ,3)U(3 , +00)) ,il limite per x che tende a 3 vale 5 e la funzione non è neppur definita in x=3 , ma il limite esiste !
INSOMMA, TRANNE IL CASO CHE LA FUNZIONE SIA CONTINUA NEL PUNTO , IL LIMITE E' SLEGATO DAL VALORE ( EVENTUALE ) CHE FUNZIONE ASSUME NEL PUNTO IN QUESTIONE.

ciao
Camillo

[WonderP]

Volevo aggiungere che si può calcolare li limite "destro" o "sinitro" cioè per x decrescenti o crescenti, faccio subito un esempio, il solito y=x+2
posso studiare il valore che assume y per x che tende a 3+ o a 3-, cioè nel primo caso (3+) con valori di x>3 (immaginiamo 3,000...1 scritta scorrettissima dal punto di vista matematico), nel secondo caso (3-) con valori di x sempre minori di 3 (immaginiamo 2,9999...9). Ovviamente questi due limiti possono essere differenti!
Esempio y=x+2 per x>3 e y=x-2 per x<3 (per x=3 non definita)
limite per x che tende a 3+ è 5 ma il limite per x che tende a 3- è 1.
Di solito queste curiosità si trovano in funzioni con il modulo.

WonderP.

P.S. solitamente il "+" e il "-" si scrivono in apice.

[Camillo]

Ne approfitto e aggiungo un altro esempio sul limite destro e sinistro, piuttosto significativo.
Consideriamo la funzione : y= 1/(x-2). Qui le cose cambiano profondamente se si cerca il limite destro oppure sinistro per x che tende a :2.
Prima di tutto possiamo dire che la funzione non è definita per x= 2 : infatti l'espressione :1/0 non ha nessun significato.
Ha invece significato cercare il limite per x che tende a 2+ e a 2-.
Per x che tende a 2+( cioè per valori maggiori di 2 ) il denominatore tende a : 0, ma è 0+ e quindi la funzione tenderà a + 00( + infinito) : ok ?
Per x che tende a 2- la frazione tende a 0- e la funzione tenderà a
-00.
Mi piacerebbe sapere se ti abbiamo confuso le idee o se invece ..
ciao
Camillo

[verdelli]

Ciao a tutti scusatemi,ma questo fine settimana sono stato fuori;



veniamo al caso y=x+2

il limte vale 5 ed ho anche capito perchè;
la funzione è continua perchè il limte corrisponde al valore della funzione per x che tende a 3
ovvero y vale 5 per x che tende a 3 e/o per x che vale 3.
ora cosa significa ciò che ha detto camillo?
ovvero y=x+2 ;per x=3 definisco che la funzione valga 35 ?
è solo un esempio certo non ti riferivi alla funzione in questione?
perchè per x=3 essa non vale 5?
o forse ho dimenticato di fare quel che si chiama insieme di definizione della funzione?
una volta capito cosa è il limite proverò a spiegarne l'utilità...ma ora è presto
aspetto prima le vostre risposte.


grazie goblyn,wonder,camillo




per Camillo


ho intenzione di iscrivermi ad ingegneria elettronica tramite i corsi a distanza
del consorzio nettuno dell'università la sapienza di roma.





Modificato da - verdelli il 15/09/2003 11:52:00

[Camillo]

Era un altro esempio .
Volevo definire un'altra funzione( simile alla precedente, ma non certo uguale ) e precisamente così :
y = x+2 per tutti i valori di x eccetto che per x=3
per x= 3 fisso che valga 35 .
Allora in questo caso ancora il limite della funzione per x che tende a 3 vale sempre 5 ; ma il valore della funzione per x=3 non è certo 5 ma vale 35( come è stato specificato nella definizione della funzione ).
Attenzione il concetto di funzione è molto ampio : basta che sia definita una corrispondenza qualsiasi tra la variabile indipendente x e la variabila dipendente y e che a ogni valore della x corrisponda uno e un sol valore della y.
Capisco la tua difficoltà che deriva dal fatto che al liceo le funzioni vengono solo definite da una unica espressione : ad es.:
y= 3*x^2 + sen x -x
Pensa ad una definizione già più complessa e sempre valida come :
y= 1 per x>1
y= x per 1>=x>=0
Y= - x^2 per x<0.
Attenzione è un'unica funzione e non tre funzioni : ho dovuto spezzare in tre parti la rappresentazione della funzione , ma la funzione è una sola .
per rappresentarla meglio avrei dovuto raccogliere le tre righe sotto una unica parentesi graffa.
Prova a disegnare quella funzione ( non è difficile ) e prova a calcolare i limiti per x che tende a 0 e a 1 ; la funzione è continua ?
ciao
Camillo

[verdelli]

scusami camillo ma penso di affrontare uno dei passi + importanti dello studio della funzione,per cui devo capire.


y=x+2

ora cosa vui dire con fisso che per x=3 la funzione vale 35?
questa è un'equazione in cui la x sommata alla costante 2 ci da la y che in questo caso vale 5?
mentre scrivo mi viene in mente una cosa;

per caso il fatto che tu definisci la y=35 per x=3 per caso non vuol dire che la funzione non è lineare..e l'equazione di cui sopra non è valida per quel valore?


ti chiedo scusa se ho scritto una cosa banale


ciao

[Camillo]

Dunque vuol dire che io ho specificato la funzione da studiare in un certo modo : ho indicato che la funzione è: y=x+2 per tutti i valori di x tranne che per x=2 ; per questo valore ho specificato che la y vale : 35.
Si, per quel valore ( x=2) non vale quella relazione lineare y=x+2.

Un altro esempio di funzione definita in un modo più complesso del solito:
y= x per x>0
y= sen x per x<0
attenzione è una unica funzione !

oppure Y= X+2 PER X>=0
Y=X+1 PER X<0
E' SEMPRE UNA SOLA FUNZIONE : E' CONTINUA ?
CIAO
Camillo