cosa è il limite?

[verdelli]

allora quella di prima mi viene così


per x compreso tra 0 e 1 y=x
graficamente viene una retta che parte dall'origine e va fino al punto y=x=1 poi diventa costante e vale 1 per qualsiasi valore di x >1

mentre per x minore di zero è un esponenziale e per esempio nel punto x=-1 y=-1

lim = 0
x-->0


lim =1
x-->1


la funzione è continua.la motivazione che dò è dovuta al fatto che il limite coincide con il valore della funzione nei due punti citati ovvero 1 e 0.

spero di non aver detto cose inesatte


grazie




Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:33:48

Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:34:52

Modificato da - verdelli il 15/09/2003 22:36:59

[Camillo]

Ciao,
voglio fare un passo avanti nella spiegazione sui limiti e dare la definizione preciso di limite di

una funzione .

Premessa : sia f(x) una funzione a un sol valore definita in tutto l'intervallo T e sia poi x0 un

punto qualsiasi di T .
Può accadere che per valore di x molto vicini ad x0, i corrispondenti valori della funzione

differiscano molto poco da un numero l (elle) e che la differenza possa rendersi piccola a piacere

purchè si prenda x opportunamente vicino ad x0 .

Allora si dice che la funzione ha come limite l, per x che tende a x0 e si scrive limite per x che

tende a x0 di f(x) = l.

Ecco la definizione :
Si dice che è :
limite per x che tende a x0 di f(x) = l
quando , prefissato ad arbitrio un numero epsilon >0 , è possibile determinare in corrispondenza un

numero delta(epsilon) >0 tale che per tutti gli x di T soddisfacenti alla condizione :
0<|x-x0|< delta(epsilon),
risulti:
|f(x)- l| < epsilon.
Le ultime due diseguaglianze equivalgono a scrivere :

l-epsilon< f(x)< l+epsilon,
per :
x0-delta(epsilon) < x < x0+delta(epsilon), con x diverso da x0.

Nota . Poichè si è scritto : 0<|x-x0|<delta(epsilon) e non <= , allora vuol dire che nella

definizione di limite non si tiene alcun conto dell'eventuale valore di f(x) in x0 : nel punto x0

la funzione può non essere definita o, essendolo ,può assumere qualsiasi valore .

Quindi in sintesi :
*fisso epsilon come voglio io
* se riesco a trovare un delta(epsilon) tale che per qualunque x nell'intervallo :
(x0-delta(epsilon),x0+delta(epsilon) ) il valore della funzione differisca da l meno di epsilon,

allora l è proprio il limite per x ....etc.
Se fai un disegno, vedrai che è più chiaro: io purtroppo non so come fare ad inserirli.


delta(epsilon): epsilon andrebbe messo come pedice di delta , ma non riesco.

Naturalmente in generale al variare di epsilon, varia anche delta(epsilon); delta è quindi funzione
di epsilon.

Proviamo con un esempio:
Verificare, applicando la definizione , che il limite per x che tende a 2 di : 2x+3 vale :7.

Fisso epsilon >0 : devo riuscire a trovare un delta ( epsilon) tale che etc.

Applico la definizione di limite :se è vero che 7 è il limite allora deve essere :

7-epsilon < 2x+3 < 7+epsilon
che si spezza in :
* 7-epsilon< 2x+3 da cui: x > 2-(epsilon/2)
* 7+epsilon > 2x+3 da cui : x< 2+(epsilon/2)

quindi : 2-(epsilon/2)<x< 2+(epsilon/2)
ecco trovato l'intorno di x0=2 ; in questo caso semplice
delta( epsilon) è uguale a : epsilon/2 .
Quindi fissato epsilon >0 trovo un intorno di 2 ( 2-(epsilon/2) , 2+(epsilon/2) ) per tutti i punti

del quale il valore della f(x) si discosta da 7 meno di epsilon .
Allora è propio vero che 7 è il limite etc..
Epsilon è arbitrario e per qualunque epsilon si trova che l'intorno esiste ed è dato da vedi sopra

....e se epsilon diventa molto piccolo, allora anche l'intorno è molto piccolo, cioè molto vicino

ad x0=2, e la funzione si avvicina molto al valore l .
Proviamo ad assegnare ad epsilon un valore numerico, ad es. : 0.01; allora con facili calcoli si
vede che l'intorno di 2 è :
( 1.995 , 2.005); quindi per ogni valore di x compreso nell'intorno di 2 indicato , il valore
della funzione : 2x+3, differirà da 7 di meno di epsilon.
Proviamo ad assegnare ad x un valore dell'intorno: ad es. : 2.004 e vediamo cosa vale la funzione :

7.008 che infatti differisce da 7 di : 0.008 che è minore di 0.01( =epsilon).
Per ora credo che basti !
ciao
Camillo
P.S. se le videolezioni di Analisi I sono tenute dal prof.Barozzi allora sono eccellenti e
chiarissime.

Poi ti rispondo ai limiti che hai calcolato.

[Camillo]

Esatto quanto dici: la funzione è continua.
Attenzione per x<0 la funzione è una parabola ( si definisce
esponenziale se è del tipo : y= a^x).
In modo più formale puoi dire che
dalla definizione della funzione si deduce che :
y(1) = 1
ed anche che y(0)= 0 .
Inoltre : limite per x che tende a 0- è : 0 e inoltre limite per x
che tende a 1+ è ovviamente 1.
Quindi la funzione è continua in tutto il suo campo di esistenza
(-00, +00).
E , non so se l'hai gia' studiato , ma la funzione sopraindicata è

derivabile ?
ciao
Camillo

[Camillo]

Vorrei svolgere un altro esercizio sui limiti un po' più complicato

dei precedenti : il mio scopo è di far capire meglio la definizione

di limite , che se non difficilissima , è però assai delicata.
Verificare, tramite l'uso della definizione che :

limite per x che tende a 0 di : (x-2)/(x-1) = 2.
Si tratta di vedere se, fissato epsilon > 0 , è possibile trovare un

intorno di 0 , di ampiezza delta tale

che per qualunque x appartenente a questo intorno ( escluso al più il

punto x=0) si abbia :

|[( x-2)/(x-1)]- 2|< epsilon; da qui in avanti per semplicità

indicherò nelle formule epsilon come ep.

Trasformiamo la relazione in due disequazioni equivalenti :

2-ep < (x-2)/(x-1) < 2+ep che a sua volta si spezza nelle due

disequazioni :

* (x-2)/(x-1) > 2-ep da cui : ((ep-1)x-ep)/(x-1) > 0 ; avvicinandosi

x a 0 il denominatore sarà negativo ; quindi la disequazione da

risolvere diventa : (ep-1)x < ep ; attenzione ora che essendo ep

"piccolo" sarà :ep-1 < 0 ;poichè per risolvere la disequazione si

deve dividere per (ep-1) che è negativo , allora la disequazione

cambia verso e si ottiene :
x > ep/(ep-1)

* (x-2)/(x-1) < 2+ ep da cui con analoghe considerazioni si ottiene :

x< ep/(ep+1).
In conclusione si ha :

ep/(ep-1) < x < ep/(ep+1) che è proprio un intorno di x=0.
Infatti il termine a sinistra è negativo e per ep molto piccolo è

molto prossimo a 0; il termine a destra è positivo e per ep piccolo

è pure molto prossimo a 0.
Se ad es. considero ep=0.01 ,ottengo:
- 1/99< x <1/101 .
La verifica è dunque stata positiva ed è quindi vero che per x che

tende a 0 la funzione tende a 2; infatti dato epsilon >0 , si trova

un intorno ( ep/(ep-1) , ep/(ep+1) ) per tutti i punti del quale la

funzione differisce da 2 meno di epsilon.
Ora chiudo: mi piacerebbe sapere se riesci a seguire quanto scrivo e

se ti sembra di una qualche utilità.
ciao
Camillo




Modificato da - camillo il 18/09/2003 17:10:11

[tony]

Camillo,
nel tuo msg "Posted - 17/09/2003 : 19:18:44" la frase
"... un intorno di 0 , di ampiezza delta epsilon dipendente da epsilon tale che ..."
non sembra coerente col resto del testo (eredita spezzoni di tue definizioni apparse in altri msg).

penso che, a vantaggio della comprensibilità di un argomento delicato, vada semplicemente letta come:
"... un intorno di 0, di ampiezza epsilon tale che ...".

ciao a tutti da
tony, correttore di bozze.

[Camillo]

Grazie, Tony. in realtà deve essere : un intorno di 0 di ampiezza delta .
Ho semplificato così e dovrebbe essere di più facile comprensione.
ciao
Camillo

[Camillo]

Propongo un esempio di funzione la cui definizione è data in modo
differente dal solito ( y= f(x) ), ma è un pò' più articolata: questo
nell'intento di chiarire che il concetto di funzione è molto ampio e
i modi per definirla differenti e "liberi".
La funzione è così definita nell'intervallo (-00, +00):

f(x) = max [1,x^2]

max [1,x^2] significa che in ogni punto dell'intervallo si deve
scegliere quella che ha valore maggiore tra : y=1 e y=x^2.
Pertanto f(x) sarà coincidente con :y=x^2 tra: -00 e -1 ; poi tra -1

e +1, f(x) avrà valore :1 ; infine da:1 a +00 la f(x) sarà

coincidente con :y=x^2: nel complesso una specie di parabola col

vertice troncato e appiattito.

E' chiaro che la funzione f(x) vale : 1 in x=1 e x=-1 ed inoltre è :

limite per x che tende a 1+ di f(x)=1 ed è pure limite per x che

tende a -1- di f(x)=1 ; pertanto la funzione f(x) è continua in

tutto il suo insieme di definizione.

La funzione non è invece derivabile nè per x=-1, nè per x=1 ; non

esiste infatti derivata nè in x=-1, nè in x=1 ; esistono però

derivata destra e sinistra ( ma sono differenti) e più precisamente:

in x=-1: derivata sinistra:-2 ; derivata destra: 0,
in x=1 : derivata sinistra: 0 ; derivata destra : 2.
Pertanto x=-1 ed x=1 sono punti angolosi.
Suggerisco a chi legge di fare un grafico della funzione e questo

chiarisce quanto detto sopra.

Ed ora vorrei proporre come curiosità un classico esempio di funzione

"patologica", chiamata di Dirichlet , la cui definizione è la

seguente, limitata all'intervallo [0, 1]:

f(x) = 1 se x è un numero razionale ;
= 0 se x è un numero irrazionale.
Il modo formale per definire la funzione é:

f(x)=1 se x appartiene all'insieme Q intersezione [0,1];
= 0 altrimenti.

[l'insieme Q è l'insieme di tutti i numeri razionali ; intersecandolo

con l'intervallo [0,1] se ne ottengono tutti e soli i numeri

razionali compresi tra 0 e 1 inclusi].Tra 0 e 1 sono infiniti sia i

numeri razionali che quelli irrazionali.
Il grafico di questa funzione non è in alcun modo disegnabile : essa

è discontinua in ogni punto dell'intervallo [0,1].
ciao a tutti
Camillo

[Camillo]

Ciao verdelli,
indigestione da limiti o shock matematico ?
se ti sei ripreso batti un colpo.
Ti sei iscritto all'Università ?
ciao
Camillo

[verdelli]

ciao Camillo,scusa ma non ci sono stato per lavoro.
comunque mi sono iscritto e sto studiando con le videolezioni di nettuno;matematica 1 con il prof. Barozzi e con il suo testo: primo corso di analisi matematica.

[Camillo]

Bentornato ! Ottime le video lezioni del prof.Barozzi, le avevo registrate a suo tempo quando erano trasmesse di notte su Rai 2 .
E per le esercitazioni come fai ? su Internet ?
Se hai bisogno di chiarimenti, fatti sentire
ciao
Camillo