cosa è il limite?

[Camillo]

Ciao vecchio, per oggi ti do una risposta lapidaria, domani spero di
risponderti in maniera più completa : hai sollevato domande interessanti.
I numeri complessi, una volta definiti con certe regole , esistono ne più nè meno degli altri numeri.
L'uso che se ne fa , almeno il più comune che sappia io è in Elettrotecnica , nello studio delle correnti alternate : cercherò domani di dirti meglio come e perchè : ti assicuro che le correnti alternate son ben reali ... le abbiamo tutti a casa nostra quando ci attacchiamo alla presa di corrente.
Quanto a Matematica , Fisica e Ingegneria sono di base lauree diverse : Ingegneria è più applicativa , le altre più teoriche .
Recentemente sono stati istituiti dei corsi di Laurea in ingegneria a indirizzo matematico ed anche a indirizzo Fisico, che possono essere una via di mezzo tra le scienze pure e Ingegneria.
Io forse , se fossi matricola adesso , magari sceglierei Ingegneria Matematica.
ciao
Camillo
ciao
Camillo

[Camillo]

Uso dei numeri complessi

A parte la giustificazione di tipo puramente matematico della loro esistenza, fornire cioè la soluzione di equazioni algebriche anche nel caso in cui ci si trovi di fronte a una radice di ordine pari di un numero negativo ( es. rad quad ( -120) ) ed è questo il problema che ha portato alla loro definizione e assiomatizzazione , i numeri complessi trovano anche delle applicazioni pratiche : in Elettrotecnica nello studio delle reti in corrente alternata e nei sistemi di controllo ( come dice WonderP) .
Nel caso di sistemi in corrente alternata , le tensioni e correnti, che sono grandezze sinusoidali
( variano cioè nel tempo come una sinusoide) possono essere rappresentate come vettori ; e questo vale anche per le impedenze , che sono la generalizzazione alla corrente alternata della resistenza in corrente continua.
Una volta trovate le equazioni vettoriali che risolvono un certo problema , di solito vanno poi tradotte in numeri in base ai dati ( numerici) specifici del problema considerato.
Ed è a questo punto che si ricorre all’uso dei numeri complessi .Ogni vettore, infatti può essere decomposto secondo due direzioni ortogonali e può allora essere rappresentato da un numero complesso del tipo : z = a + j b, essendo : j = radquad(-1) . [ in elettrotecnica si usa j invece di i per indicare la radice di – 1 , in quanto i è spesso usato per indicare l’intensità della corrente che fluisce nel circuito.
Quindi ad esempio, una tensione , rappresentata dal vettore V , che nel piano di Gauss formi un angolo alfa con la direzione positiva delle ascisse , può essere decomposta in :
V(vettore) = V* cos alfa + j V sen alfa [ ed è quindi rappresentato come un numero complesso ]
Le impedenze ad esempio vengono pure rappresentate da un vettore Z le cui componenti sono :
r ( resistenza) e x( reattanza) per cui sarà:
Z( vettore ) = r + j x.[ anch’esso rappresentato come un numero complesso )
L’equazione di Ohm diventa quindi , nel caso di correnti alternate :
V( vettore ) = Z( vettore) * I ( vettore ) equazione vettoriale che può essere trattata con le regole dei numeri complessi sostituendo ai vettori appunto i numeri complessi che li rappresentano e sviluppando i calcoli secondo le regole dei numeri complessi. Ad esempio sia : Z = 2+ 3 j e sia :
I = 1+ 2 j ; si otterrà : V = (2+3j)*(1+2j) = -4 +7 j .

Inoltre nei casi comuni in cui il vettore V risulta ruotato in anticipo dell’angolo teta sul vettore I , si potrà allora porre :
Z ( vettore) = r+jx = z * e^( j * teta ) introducendo così la notazione esponenziale dei numeri complessi .
L’uso dei numeri complessi è quindi semplicemente un metodo di calcolo utile , uno strumento , che permette di facilitare i calcoli da effettuare per la risoluzione di reti in regime alternato sinusoidale .
Quindi nelle equazioni vettoriali si introducono le espressioni complesse delle grandezze interessate e si sviluppano poi i calcoli con le regole dei numeri complessi .
Si arriverà quindi sempre ad una espressione della grandezza cercata ( qualunque essa sia ) del tipo :
T ( vettore) = A + j B .
Il modulo (valore) di T sarà appunto , usando le regole dei numeri complessi :
T = radquad(A^2+B^2) ; inoltre il vettore T formerà con il vettore scelto come asse di riferimento un angolo teta dato da :
tg teta = B/A = coeff. parte immaginaria / parte reale .
Se applichiamo queste considerazioni all’esempio numerico fatto sopra in cui si otteneva per V l’espressione : -4 + 7 j vuol dire che il valore della tensione ( modulo ) vale : radquad( 4^2 + 7^2 ) = circa : 8.06 Volt con un angolo di sfasamento pari a circa – 60° ( tg teta = 7/(-4) = - 1.75 e quindi teta = circa -60° ( il segno meno vuol dire che V è sfasata in ritardo rispetto ad I ) .
Nello stesso esempio era : Z = 2 + 3 j ; quindi resistenza = 2 ohm , reattanza = 3 Ohm e impedenza totale ( in modulo ) = radquad(2^2 + 3^2) circa : 3.605 Ohm.
Analogamente si ricava che il modulo della corrente I vale : radquad(1^2+2^2)= 2.236 Ampere .
Naturalmente fra i moduli vale la relazione : V = Z*I (infatti : 8.06 Volt = 3.605 Ohm * 2.236 Ampere ).
E mi fermo.
Per quanto riguarda la domanda di Vecchio : quale Facoltà , Matematica, Fisica o Ingegneria ? dò una risposta aprendo un altro topic intitolato appunto : quale Facoltà ?
Ciao
Camillo