esercizio1

[steven17]

propongo di seguito un esercizio di analisi II spero che qualche appassionato del "settore" vogli cimentarsi nel risolverlo per aiutarmi

ESPRIMERE IN FUNZIONE DELLE COORDINATE POLARI ( RO e THETA ) IL SEGUENTE DOMINIO:

D: { (x, y) in R2 : y >= 0 ; x^2 + y^2 >= 25 ; (x^2)/25 + (y^2)/36 <=1 }

GRAZIE
STEVEN

[Camillo]

nON è ANCORA UNA RISPOSTA , SOLO UN INIZIO:
x^2+y^2=25 è l'equazione di una crf. di centro l'origine e raggio 5.
la sua equazione in coordinate polari è :
x=5* cos theta
y=5*sen theta
la limitazioen y>= 0 si traduce in :0 =<theta<= pi.
l'altra equazione è un ellisse di semiassi 5 e 6.
va trovata la sua equazione in coordinate polari e poi va combinato il tutto considerando quale è la regione di piano interessata :
semipiano superiore delle y , punti esterni alla crf. , punti interni all'ellisse.
ciao
Camillo

[Camillo]

La equazione dell'ellisse in forma polare è :
x=5* cos theta
y= 6* sen theta
La regione di piano che si richiede di indicare in coordinate polari

è quella compresa tra la parte superiore della crf. e la parte

superiore della ellisse( se fai un disegno è chiaro) e soddisferà a

queste limitazioni :

0 <= theta <= pi
5 <= ro <= sqrt( 25*(cos(theta)^2 +36* sen(theta)^2)

in quanto ro minimo è chiaramente 5( pari al raggio della crf. ) e

l'espressione sotto sqrt è pari al " raggio variabile " dell'ellisse

per ogni valore di theta.
Avendolo fatto un pò di fretta spero di non aver fatto troppe cavolate.
ciao
Camillo



Modificato da - camillo il 23/09/2003 17:11:36

[steven17]

GRAZIE TANTE CAMILLO
STEVEN

[steven17]

ho rivisto l'esercizio e volevo chiedere una cosa più generale riguardo alle coordinate polari. nell'esercizio l'imposizione y>=0 generava un valore di theta compreso tra o e pi. se invece fosse stato x>= 0 che effetti avrebbe avuto su theta? e poi una semicirconferenza di centro l'origine disposta simmetricamente rispetto all'asse y diciamo di raggio unitario che variazione di theta comporterebbe?
grazie
steven17

[Camillo]

x>=0 vuol dire : 0<=teta<=pi/2 e 3/2pi<=teta<=2pi , oppure con una unica notazione :-pi/2<=teta<=pi/2 .
Se fai un disegno è una cosa molto semplice (forse tu la credi complicata , ma non lo è)
* semicrf. centro origine e raggio 1( non importa quale sia il raggio )
se la semi crf. è nella parte superiore ( y>=0) allora:
0<=teta<pi
se invece nel semipiano inf. allora :
pi<=teta<=2pi oppure:-pi<=teta<0.
prova a disegnare il tutto sul foglio e a rifletterci un po' : se non ti è chiaro torna pure alla carica.
ciao
Camillo

[Camillo]

Coordinate polari
Ieri ero un po' di fretta e le mie spiegazioni sono state forse un

po' sbrigative.
Val la pena di approfondire, perchè è un punto molto importante e, se

non è chiaro, non si riesce neppure a partire nella soluzione di

molti esercizi di Analisi II.
A)Come definire in coordinate polari la parte di piano caratterizzata

da : y>=0 ? Si tratta del semipiano superiore, cioè di quello che

nella rappresentazione cartesiana viene definito primo e secondo

quadrante.
Immagina una semicrf. di centro l'origine e raggio: 1( sempre nel

semipiano superiore).Tutti i punti inclusi in questo semicerchio

avranno:
0<=RO<=1 ed anche : 0<=TETA<=180°( pi espresso in radianti)
Quindi questa coppia di relazioni identifica tutti e soli i punti del

semipiano superiore racchiusi nella semicrf. di raggio 1
e anche quelli facenti parte del bordo.
Ricorda che gli angoli si contano positivi in senso antiorario a

partire dalla semiretta positiva delle x( che ha teta=0) e quindi

l'asse y positivo ha teta = pi/2, mentre l'asse x negativo ha teta=

pi e l'asse y negativo ha teta = 3/2pi.
Adesso facciamo lo stesso discorso con una semicrf. di raggio : 100 ;

tutti i punti di questo nuovo semicerchio saranno rappresentati da :
0<=RO<=100 ed anche : 0<=TETA<= pi.
Se adesso porti all'infinito il raggio ottieni tutto il semipiano

superiore con y>=0 che in coordinate polari sarà identificato da :
0<=TETA<= pi ; dovresti anche mettere : 0<=RO<=inf., ma questo

chiaramente è del tutto inutile e allora non si mette niente che

significa : RO qualunque.
B)Penso che adesso ti sia più chiara la rappresentazione polare del

semipiano : x>=0, che è:
0<=TETA<=pi/2 e 3/2pi<=TETA<= 2 pi
oppure in modo più sintetico :
-pi/2<=TETA<=pi/2 ( è chiaro perchè - pi/2 ? )

C)Semicrf. di centro l'origine e di raggio 1 disposta simmetricamente

rispetto l'asse y e nel semipiano superiore : 0<=RO<=1 e 0<=teta<=pi
rappresenta tutti i punti inclusi nel semicerchio.
D)Altro esempio
Condidera nel primo quadrante soltanto, due archi di crf. di raggio

R1 e R2 (con R1<R2) .
Voglio descrivere in coordinate polari solo e soltanto la corona

circolare compresa tra i due archi di crf. e inclusi gli archi stessi

e i segmenti di chiusura sull'asse x e asse y, si avrà:
R1<=RO<=R2 e 0<=TETA<=pi/2: se scrivessi R1<RO<R2 escluderei i 2

archi di crf. e se scrivessi : R1<RO<R2 escluderei i due segmentini

su asse x e y.
E)Ultimo esempio
Consideriamo solo nel primo quadrante un quarto di crf . di raggio 1

e due rette di angolo rispettivamente :pi/6 e pi/4 ( l'equazione

delle rette è risp. : y=(sqrt(3)/3)*x e y=x); se voglio rappresentare

il triangolo curvilineo formato dai due segmenti delle due rette e

delimitato dall'arco della semicrf. scriverei :
0<=RO<=1 e pi/6<=TETA<=pi/4
Spero che adesso la cosa sia un pò più chiara...
Fatti sentire se hai bisogno
ciao
Camillo

[steven17]

grazie camillo sei stato veramente chiaro!
l'unica cosa per la quale sono ancora in difficoltà è la risoluzione degli esercizi 2 e 6 dove goblyn ha iniziato ad aiutarmi se magari gli dai una mano....
comunque grazie lo stesso
ciao
steven

[Camillo]

ciao,
nell'esercizio 2 ci sono delle definizioni che non ho mai sentito : sorry.
Nel frattempo goblyn ha brillantemente risolto l'es.6.
ciao
Camillo

[steven17]

Scusa Camillo ti disturbo ancora una volta:
della tua spiegazione ho capito tutto e ho provato a fare degli esercizi e vorrei che tu ne verificassi la correttezza.
il dominio (y>=0; x^2+y^2>=25; x^2/25 + y^2/36 <=1) rappresentato in coordinate polari non è il seguente:
( 0 <= theta <=pi; 5<= ro <=6) ?

inoltre la figura composta dalle curve x^2+y^2=4 e x^2/4+y^2/9=1 non può essere espressa come l'unione di due domini dove:
D1 = (2sent<=t<=2cost; 0<=theta<=pi)
D2 = (3sent<=t<=2cost; pi<=theta<=2pi)

questo è tutto spero di non aver sbagliato....
grazie
steven