esercizio1

[Camillo]

Prima di tutto volevo segnalarti che nel mio post del 16/09 c'è un
errore :
L'equazione dell'ellisse : (x^2/25)+(y^2/36) =1 , in forma polare è:

x=5*cos theta
y=6*sen theta( e non cos theta come stava scritto )
correggo il post.
Adesso veniamo alle tue domande :
1)tu chiedi se il dominio (y>=0; x^2+y^2>=25 ; x^2/25 +y^2/36<=1 )

rappresentato in coordinate polari sia :
0<=theta<=pi questo è ok.
5<=ro<=6 questo non è corretto in quanto così rappresenterebbe la

semicorona circolare superiore compresa tra 2 semicrf. di raggio 5 e

6; nel nostro caso invece il bordo esterno del dominio è dato da un

'ellisse( che ha semiasse pari a 5 su asse x e semiasse pari a 6 su

asse y); il bordo interno del dominio è dato dalla semicrf. di raggio

5 .Allora : 5<=ro va bene , non va bene il limite superiore che tu

hai posto uguale a 6.
Considera una semiretta che esca dall'origine degli assi e faccia un

angolo theta con l'asse x ; questa semiretta incontra l'ellisse in un

punto che ha una distanza dall'origine delle coordinate pari a :
sqrt(x^2+y^2)(pitagora) che vale (vedi sopra):

sqrt(25*(cos(theta))^2+36*(sen(theta))^2) e questa è l'espressione di

ro massimo che non può essere superato.
D'altronde nell'espressione di ro per l'ellisse ci deve essere una

dipendenza da theta , perchè ro varia con theta !
Quindi il dominio in coordinate polari è così specificato:

0<=theta<=pi
5<=ro<=sqrt(25*(cos(theta))^2+36*(sen(theta))^2).

2) non riesco a capire esattamente cosa vuoi trovare
tu parli di 2 curve : una è una crf. di centro origine e raggio 2;

l'altra è una ellisse di semiasse pari a 2 su asse x e di semiasse

pari a 3 su asse y .
non capisco cosa rappresentino D1 e D2 ( forse è 2sen t<=ro <=2 cos t

??...cosa significa ? dovrebbe essere la rappresentazione di che cosa

?)
cosa intendi poi per figura composta : la parte di piano comune alle

2 figure o la somma delle 2 figure ? o che altro ?
chiarisci meglio i dati del problema e che cosa vuoi trovare.
ciao
Camillo

[andyvandermeyde]

riporto "su" questo storico thread perchè c'è un dominio di questo tipo che mi sta facendo impazzire:

il dominio che devo rappresentare in coordinate polari è D. D è definito come tutti i punti del piano appartenenti ad A e NON appartenenti a B.

A = { x =>0 e y=>0 e 4x^2+9y^2<=36 }

B = { x<1 e y<1 e (x-1)^2+(y-1)^2>1 }


qualcuno ha tempo/voglia di aiutarmi?

Andy Van der Meyde

Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org

[Camillo]

Sarebbe necessario fare un disegno .
Provo a darti almeno una traccia:
Il dominio A è nel primo quadrante ( x>=0,y>=0) ed è la parte di piano interna all'ellisse di equazione x^2/9 +y^2/4 =1( infatti la condizione era : 4x^2+9y^2=36, da cui si deduce l'equazione dell'ellisse).
Il dominio B è la parte di piano con x <1 e y < 1 ed è quindi il quadrato di vertici( 0,0), ( 1,0), ( 0,1 ) ,(1,1) e la parte di piano esterna alla crf di centro ( 1,1) e raggio : 1 .
Il dominio cercato però deve appartenere ad A e non a B .
Se fai il disegno lo determini senz'altro.
Camillo

[andyvandermeyde]

ma il disegno è facilissimo...

quello che non riesco a capire è come esprimere il dominio per calcolare l'integrale......

theta va da 0 a pi/2.. giusto?

e ro? come deve variare? bisogna esprimere in funzione di ro le equazioni dell'ellisse e dell'archetto di circonferenza che rientra nel dominio.....

per l'ellisse è facile...
sostituisco le coordinate cartesiane con quelle polari

x = ro cos (theta)

e

y = ro sen (theta)


poi risolvo l'equazione in funzione di ro
e ottengo:

ro = sqrt(9*cos^2(theta)+4*sen^2(theta))

ti trovi?

questa ro è l'estremo superiore dell'integrale....

l'estremo inferiore invece non riesco ad esprimerlo... ((

Andy Van der Meyde

Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org

[karl]

Il dominio in questione e' la regione
in verde.Per questo dominio ,indicando l'angolo
generico teta con t,risulta ovviamente :0<=t<=pi/2.
Per avere la variazione del generico ro,che
per comodita' indico con r,per un assegnato t occorre
calcolare OF e OR.Per avere OF (F sta sull'ellisse)
sostituiamo nell'equazione dell'ellisse
x=OF*cos(t),y=OF*sin(t) e risulta:
OF=6/sqrt[4cos^2(t)+9sin^2(t)]
Per avere OR il procedimento e' piu' lungo.
OC=sqrt(2);OM=sqrt(2)*cos(PI/4-t);CM=sqrt(2)*sin(PI/4-t);
RM=sqrt(CR^2-CM^2)=sqrt[1-2sin^2(PI/4-t)]=sqrt[sin(2*t)];
OR=OM-RM=sqrt(2)*cos(PI/4-t)-sqrt[sin(2*t)].
In conclusione il dominio e' definito da:
<b><font color="red">0<=t<=pi/2
sqrt(2)*cos(PI/4-t)-sqrt[sin(2*t)]<=r<= 6/sqrt[4cos^2(t)+9sin^2(t)]
</b></font id="red">
Salvo errori.
karl.

[andyvandermeyde]

si si... è proprio così!

karl sei stato divino......

grazie a tutti e due...

Andy Van der Meyde

Van der Meyde Football Club (51865) in Hattrick.org