Spiegazione limite a due variabili

[dazuco]

Il seguente limite

lim (x,y) -> (0,0) (x^5 + y^5)/((x^4 + (x^2)(y^2))

l'ho sviluppato in questo modo

(x^5 + y^5)/ ((x^2)(x^2 + y^2))
quindi passando in coordinate polari

lim (rho -> 0) (rho * ( cos^5 t + sen^5 t)) / (cos^2 t)

allora ho scritto

il limite non esiste perchè dipendente da 0<= t<= 2pi

Sembra che la risposta non sia proprio corretta.

Ho perso 4 punti per questo sull'esercizio.

Io ho ragionato in questo modo: quando il denominatore tende a 0 il limite diverge mentre per ogni altro valore di t il limite vale 0.
Però ho scritto sul compito solo la frase sopra esposta.

Qualcuno può darmi qialche delucidazione??

Grazie
<pre id=code><font face=courier size=2 id=code> </font id=code></pre id=code>

[goblyn]

Il limite è:

r*(c^5+s^5)/(c^2)

c=cos(t)
s=sin(t)

Per avvicinarsi all'origine ci sono svariati modi.

Far tendere a 0 r e lasciare costante t vuol dire avvicinarsi lungo una retta.

Ma ci si può avvicinare lungo infinite altre curve, per le quali, in generale, r dipende da t (o viceversa).

Se t=0 costante (cioè ci avviciniamo lungo l'asse delle x) il limite vale palesemente 0.

Se invece t=pi/2 costante... beh la funzione non è neppure definita lungo l'asse y!!!

Il c^2 si annulla se t=pi/2. Cerchiamo allora una curva tale che, nell'intorno dell'origine, abbia pendenza t=pi/2. Ad esempio x=y^2 va benissimo. Sostituendo vedi che il limite è infinito.

Tre casi con tre risultati differenti... il limite non esiste!

Forse il tuo prof. pretendeva un'analisi + dettagliata dei singoli casi...

[dazuco]

Ti ringrazio per la spiegazione come di consueto molto esauriente.