da goblyn » 19/09/2003, 19:17
il campo F=[u;v] è irrotazionale (rotF=0, verificalo!).
Inoltre è definito in tutto il piano reale a parte l'origine.
Quindi l'integrale calcolato lungo una <b>qualunque</b> curva regolare omologa ad alfa deve dare lo stesso risultato. Consideriamo allora una circonferenza centrata nell'origine e di raggio r:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
dx=-r*sin(t)*dt
dy=r*cos(t)*dt
Sostituendo nella forma differenziale ottieni un'espressione un po' lunga... però, non dipendendo l'integrale da r (per quanto detto sopra posso scegliere una circonferenza di raggio qualunque), posso far tendere a 0 r. Rimarranno i seguenti termini:
(-(sin(t))^2+(cos(t))^2)dt =
= cos(2t) dt
integrando si ottiene
t/2 + (1/4)*sin(2t)
da calcolare tra 0 e 6*pi.
Il risultato è 3*pi.
Ho controllato con un programma che venisse sempre 3*pi anche con altri valori di rho (senza farlo tendere a 0 insomma) e funziona! E' una conferma che F è proprio irrotazionale (del resto non l'ho neanche calcolato il rotore... <img src=icon_smile_wink.gif border=0 align=middle>).
Quando ho tempo vado avanti... ciao!