Ciao,allora.. non ti daro' una cosa formale che secondo me per capire nn servono a nulla cerchero' di spiegarti piu' o meno quale e' l'idea..
Nelle funzioni in una variabile fai la derivata e ti serve per capire come si comporta la funzione per un incremento infinitesimo della x.. Infatti il limite del rapporto incrementale, che e' diviso per l'incremento stesso, ti permette di capire come si comporta la funzione per unita' di incremento della x.
Bhe' in 2 variabili siamo nello spazio per rappresentare la funzione.. Quindi dire faccio la derivata e basta nn ha senso, hai bisogno di dire faccio la derivataa RISPETTO a quale direzione? Cioe', tu guardi il comportamento della funzione per un incremento verso una direzione.. Per spiegarmi meglio: "Ho una sfera in R3 e mi trovo in un punto ben assegnato della sfera stessa, Se mi muovo verso nord-ovest (i Matematici con la M maiuscola nn si offendano dell'esempio per favore
), che gli succede alla mia funzione? incrementa rispetto a questa direzione? Diminuisce?"
Ecco cosa sono le derivate direzionali... Tu fai sempre il limite del rapporto incrementale, ma incrementi verso una direzione.
Lim[t->o] f(g+tv)-f(g) il tutto diviso la norma di t.
-con t scalare appartente a R
-g un punto assegnato di R2(dovrebbe essere x segnato ma il segnato nn so come si fa e se scrivevo "x" si confondeva)
-v il vettore verso il quale vuoi te guardare il comportamento
Questo significa dire se incremento di POCHISSIMO il mio punto verso una direzione (ne incremento le componenti ovviamente), cosa succede alla mia funzione?
In particolare se il vettore verso il quale fai la direzionale e' parallelo a uno degli assi(anche coincidente) alla la derivata parziale si chiama DERIVATA DIREZIONALE.. TI immaginerai che sono importanti perche guardi come si comporta la funzione rispetto all'incremento di una delle variabili..
Spero di non aver fatto troppi errori e di esserti stato utile..
Ciauz