Derivate direzionali

Messaggioda Anto » 21/09/2003, 14:37

Non credo di non aver ben compreso l'argomento riguardante le derivate direzionali in riferimento alle funzioni a due variabili.
C'è qualcuno sappia darmi qualche delucidazione in merito o ke sappia consigliarmi qualche testo ke ne parli in maniera chiara?
Grazie a tutti!
Anto
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Messaggioda lunaxv » 22/09/2003, 18:08

Ciao,allora.. non ti daro' una cosa formale che secondo me per capire nn servono a nulla cerchero' di spiegarti piu' o meno quale e' l'idea..

Nelle funzioni in una variabile fai la derivata e ti serve per capire come si comporta la funzione per un incremento infinitesimo della x.. Infatti il limite del rapporto incrementale, che e' diviso per l'incremento stesso, ti permette di capire come si comporta la funzione per unita' di incremento della x.

Bhe' in 2 variabili siamo nello spazio per rappresentare la funzione.. Quindi dire faccio la derivata e basta nn ha senso, hai bisogno di dire faccio la derivataa RISPETTO a quale direzione? Cioe', tu guardi il comportamento della funzione per un incremento verso una direzione.. Per spiegarmi meglio: "Ho una sfera in R3 e mi trovo in un punto ben assegnato della sfera stessa, Se mi muovo verso nord-ovest (i Matematici con la M maiuscola nn si offendano dell'esempio per favore ;) ), che gli succede alla mia funzione? incrementa rispetto a questa direzione? Diminuisce?"

Ecco cosa sono le derivate direzionali... Tu fai sempre il limite del rapporto incrementale, ma incrementi verso una direzione.

Lim[t->o] f(g+tv)-f(g) il tutto diviso la norma di t.

-con t scalare appartente a R

-g un punto assegnato di R2(dovrebbe essere x segnato ma il segnato nn so come si fa e se scrivevo "x" si confondeva)

-v il vettore verso il quale vuoi te guardare il comportamento


Questo significa dire se incremento di POCHISSIMO il mio punto verso una direzione (ne incremento le componenti ovviamente), cosa succede alla mia funzione?

In particolare se il vettore verso il quale fai la direzionale e' parallelo a uno degli assi(anche coincidente) alla la derivata parziale si chiama DERIVATA DIREZIONALE.. TI immaginerai che sono importanti perche guardi come si comporta la funzione rispetto all'incremento di una delle variabili..

Spero di non aver fatto troppi errori e di esserti stato utile..

Ciauz
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Messaggioda Anto » 23/09/2003, 09:41

Prima di tutto un grazie dell'interessamento al mio problema.
Mi scuso se serò un po' lungo ...
.
In riferimento a quanto hai scritto, ne concludo che, sostanzialmente, per
derivata direzionale si intende lo studio del comportamento della funzione
in relazione al tendere di un punto ad un altro nell'ambito del dominio di
funzioni a due variabili, dominio che, per sua "natura" non è definito in due dimensioni, ma in tre.
Conseguentemente dovrò "far attenzione" anche alla direzione del mio spostamento
o meglio "incremento", per questo vengono dette "direzionali".

Per favore, correggi tutto quello che c'e' da correggere!

Il tutto è un discorso, forse, un po' troppo generico e banalizza sicuramante l'argomento.
Andando un po' di piu' sullo specifico, ho trovato un manuale (Zwirner ediz. Cedam 1991)
che tratta la questione in maniera abbastanza chiara e che propone degli esercizi svolti.

Il limite del nostro rapporto incrementale ora diventa:

lim x->t ( f(x-t*cos(rx) + t*cos(ry) ) - f(x,y) ) / t

cioè occorre cosiderare anche l'angolo della derivata parziale in x rispetto all'asse
delle x e altrattanto per le ordinate.

Infatti la regola è :

der dirz = f'x * cos rx + f'y * cos ry.

Esempio:

calcolare nel pto P(2,3) la derivata direzionale lungo la retta che passa per P
e forma con l'asse x un angolo di pigreco/6 per la funzione f(x,y) = 1 / (x^2 + y^2).

Allora,
prima calcola la deriv prima parz rispetto alla x, poi rispetto alla y,
calcola f'x(2,3) = -4/169, f'y(2,3) = -6/169.
A questo pto applica la regola:

deriv. parz prima = -4/169 * cos( pi / 6) + -6/169 * (pi/3) = - (2sqr3 + 3) / (169).

Che ne dici, ti quadra tutto ? Puoi aggiungere qualcosa ?

Avrei proprio bisogno di qualche certezza, lunedi' prossimo ho l'orale di calcolo differenziale
e su questo argomento sono un po' indietro....

Grazie 1000 !
Anto
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Messaggioda lunaxv » 23/09/2003, 12:19

Io nn so come vuole che tu la sappia il tuo docente, ma una cosa e' certa... Devi fare la derivata direzionale rispetto appunto ad una direzione (vettore). Poi la cosa si puo' fare in molti modi.. Uno e' quello che hai proposto te cioe' anziche' avere un vettore che mi indica la direzione, ho l'angolo che questa direzione forza con le x e con le y.. Ma se ci pensi e' perfettamente la stessa cosa.. Dipende dal tuo prof. come la studi.. Se come direzione ti dico:
-La direzione verso la quale devi derivare e' data dal versore [1,1]

oppure ti dico:

-La direzione verso la quale devi derivare e' la direzione che forma un angolo di 45° (pi/4) con l'asse delle x

Cosa cambia? ;)

Ovviamente in R3 hai bisogno sia dell'angolo con l'ascisse sia con quello delle ordinate.


Spero di averti chiarite le idee e di nn aver detto troppe eresie.


Ciauz ;)
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