derivata seconda della delta di dirac

[gugo82]

Occhio, che è una cosa diversa.

Qui hai la distribuzione prodotto \( \displaystyle x(t)\ \delta^\prime (t) \) * e vuoi sapere come esprimerla in maniera meno compatta.
Infatti, prendi un test \( \displaystyle \varphi \in C_c^\infty \) e hai:

\( \displaystyle \langle x\ \delta^\prime , \varphi \rangle =\langle \delta^\prime ,x\ \varphi \rangle \quad \) (definizione del prodotto tra una distribuzione ed una funzione regolare)
\( \displaystyle =-\langle \delta ,(x\ \varphi)^\prime \rangle \quad \) (definizione di derivata distribuzionale)
\( \displaystyle =-\langle \delta, x^\prime\ \varphi +x\ \varphi^\prime \rangle \quad \) (usuale derivata del prodotto di funzioni regolari)
\( \displaystyle =-\langle \delta, x^\prime\ \varphi \rangle -\langle \delta, x\ \varphi^\prime \rangle \quad \) (linearità di \( \displaystyle \delta \) )
\( \displaystyle =-x^\prime (0)\ \varphi (0) -x(0)\ \varphi^\prime (0) \quad \) (definizione di \( \displaystyle \delta \) )
\( \displaystyle =-x^\prime (0)\ \langle \delta, \varphi \rangle -x(0)\ \langle \delta ,\varphi^\prime \rangle \quad \) (definizione di \( \displaystyle \delta \) al contrario)
\( \displaystyle = -x^\prime (0)\ \langle \delta, \varphi \rangle +x(0)\ \langle \delta^\prime ,\varphi \rangle \quad \) (definizione di derivata distribuzionale al contrario)
\( \displaystyle =\langle x(0)\ \delta^\prime -x^\prime (0)\ \delta, \varphi \rangle \quad \) (linearità al contrario)

da cui:

\( \displaystyle x(t)\ \delta^\prime (t) =x(0)\ \delta^\prime (t) -x^\prime (0)\ \delta (t) \)

che è la formula del Codegone (testo troppo ingegneristico, secondo me...).


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* Fissata una distribuzione \( \displaystyle F\in \mathcal{D}^\prime \) ed una funzione \( \displaystyle x\in C^\infty \) (N.B.: \( \displaystyle x \) non è tenuta ad avere supporto compatto, quindi può anche non essere una funzione test), la distribuzione prodotto della distribuzione \( \displaystyle F \) e della funzione regolare \( \displaystyle x \) è quella denotata con \( \displaystyle x\ F \) e definita ponendo:

\( \displaystyle \forall \varphi \in C_c^\infty,\quad \langle x\ F,\varphi \rangle :=\langle F, x\ \varphi \rangle \) ;

nota che \( \displaystyle \text{$x\in C^\infty$ e $\varphi \in C_c^\infty$}\ \Rightarrow\ x\ \varphi \in C_c^\infty \) , sicché \( \displaystyle x\ \varphi \) è una funzione test e la precedente definizione ha senso.