Derivate direzionali

[dazuco]

Qualcuno potrebbe dirmi quale tra le due affermazioni è corretta ?
1) L'esistenza delle deriv. parziali prime implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali
2) Se f(x,y) è continua in A sottoinsieme di R^2 e lo sono anche le derivate parziali allora le derivate direzionali si possono rappresentare : gradiente (prodotto scalare) vettore

Quello che non mi è chiaro è quando ci sono sicuramente tutte le der. direzionali? quando esistono semplicemente le deriv. parziali o quando sono anche continue?

grazie

[goblyn]

http://www.vialattea.net/esperti/mat/de ... erparz.htm

dacci un'occhiata, c'è la risposta alla tua domanda!

goblyn

[Camillo]

Derivata direzionale
Ciao, volevo provare a sintetizzare l’argomento, fornendo anche 2 esercizi risolti.
In generale data una funzione f(x,y) continua e derivabile nel campo A, consideriamo un punto P(x,y) del campo stesso, e conduciamo per P un asse r lungo il quale misurare le ascisse a partire da un punto N(x0,y0): conviene farsi il disegno.

Il rapporto incrementale della funzione f(x,y) rispetto a r vale :

(f(Q)-f(P))/Δr essendo Δr la differenza delle ascisse ( lungo l’asse r stesso) dei punti P e Q.
Il limite per Δr che tende a 0 di : f(Q)-f(P)/Δr si chiama la derivata di f(x,y) rispetto all’asse r (df/dr).
Se poi teta è l’angolo che l’asse r forma con l’asse x , le coordinate x,y di P sono legate a quelle
( x0,y0) di N dalle ovvie relazioni :
x=x0+r*cos teta
y=y0+r*sen teta.
Ricordando la regola di derivazione delle funzioni composte ( essendo : x=x (r) e y=y(r)) si ha che :
df/dr = (df/dx)*cos teta +(df/dy) * sen teta.
Se infatti teta =0 si ottiene la derivata parziale secondo asse x in quanto cos 0° = 1 e sen 0° = 0 ; se poi invece teta =90° si ottiene la derivata parziale secondo l’asse y in quanto cos 90°=0 e sen 90° = 1.
Basta applicare questa semplice formula per calcolare la derivata direzionale di una funzione rispetto all’asse r ( ovviamente df/dx è la derivata parziale di f(x,y ) rispetto ad x e df/dy è la derivata parziale di f(x,y) rispetto a y).
Proviamo con 2 esempi.

1) Data la funzione f(x,y) = xy ln y ( per y <>0), calcolare la derivata direzionale lungo l’asse r, ove r è l’asse passante per il punto P( 1, e) e parallelo alla retta di equazione : y=x/sqrt(3), orientato nel verso delle x decrescenti.
ATTENZIONE: poiché l’asse r è orientato nel verso delle x decrescenti , basta fare un disegno e si vede subito che l’angolo teta fatto dall’asse r con l’asse x vale : 7/6*pi
( =pi+pi/6)!! ATTENZIONE.
Quindi la derivata direzionale lungo l’asse r della funzione f(x,y) calcolata nel punto P(1,e)
si otterrà con la formula sopra indicata :
df/dr= (df/dx)*cos(7/6*pi)+(df/fx)*sen(7/6*pi)e quindi sarà:
y*lny (- sqrt(3)/2)+x(1+lny)*(-1/2) che valutata in P darà :
-(sqrt(3)/2)*e - 1.
2) Sia data la funzione f(x,y)=4x^3-3xy^2+6x^2+y^2+1/2
e il punto A(1/2,-1 ) e il vettore : v= 5i-12j ( v, i, j sono vettori)
Calcolare la derivata di f(x,y) nel punto A e nella direzione di v.
Si ha : df/dx = 12x^2-3y^2+12x , che nel punto A vale : 6
df/dy = -6xy+2y , che nel punto A vale : 1.
Il vettore v forma con l’asse x un angolo teta tale che : cos teta =5/sqrt(5^2+12^2)=5/13 ;
sen teta = -12/13.
Pertanto la derivata nella direzione di v vale, usando la stessa formula dell’esercizio precedente :
6*5/13 –1*12/13 =18/13 che è il valore cercato.
·* questo esercizio si può anche risolvere nel modo seguente del tutto equivalente ma più sintetico :
*Calcolo grad f(x,y) = ( 12x^2-3y^2+12x)i +(-6xy+2y)j.
[ ricordo che il gradiente di una funzione è un vettore che ha per componenti le derivate della funzione rispetto ad x e ad y]
· valuto il valore del gradiente nel punto A(1/2,-1) ed ottengo :
· grad f(x,y) = 6i+j.
· calcolo il versore di v = (5i-12j)/sqrt(5^2+12^2))= (5i-12j)/13.
· Il valore della derivata direzionale nel punto A e nella direzione di v è allora dato dal prodotto scalare tra i due vettori : grad f(x,y) e versore di v .
· [ il prodotto scalare di due vettori è un numero che si ottiene dalla somma del prodotto delle componenti omonime dei due vettori]
· quindi il risultato è : (6*5-1*12)/13 = 18/13.

Ciao
Camillo

[dazuco]

Grazie infinite sia a camillo che a goblyn ( e naturalmente anche a tutti gli altri che partecipano al forum fireball ...... etc etc ).
Le voste spiegazioni sono sempre chiare e illuminanti.
Grazie ancora