[Tutorial] I simboli di Landau
Inviato: 10/12/2010, 01:57
In seguito alle richieste di qualche utente e di qualche moderatore, riporto le definizioni e le proprietà fondamentali dei famosi (e famigerati) simboli di Landau, i.e. quello denotati dalle quattro letterine \( \displaystyle \text{O} \) , \( \displaystyle \text{o} \) , \( \displaystyle \Omega \) e \( \displaystyle \Theta \) .
*** Disclaimer ***
Quanto scritto di seguito non ha nessuna pretesa di completezza.
Chi fosse interessato ad approfondire la questione può consultare un qualsiasi vecchio testo (leggi: libro per i vecchi ordinamenti) di Analisi I.
Parimenti quanto scritto non sarà scevro da errori.
Chiunque volesse segnalarli può mandarmi un PM.
*** Notazioni, terminologia ed indicazioni generali ***
In quanto segue si suppone, a meno che non venga esplicitamente scritto il contrario, che:
- \( \displaystyle X,Y,Z,T \) siano sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico \( \displaystyle S \) (in particolare di \( \displaystyle \mathbb{R} \) o \( \displaystyle \mathbb{C} \) );
- \( \displaystyle f:X\to \mathbb{R} \) , \( \displaystyle g:Y\to \mathbb{R} \) , \( \displaystyle h:Z\to \mathbb{R} \) e \( \displaystyle k:T\to \mathbb{R} \) ;
- \( \displaystyle x_0 \) sia un punto di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y\cap Z\cap T \) ; in particolare, se \( \displaystyle X,Y,Z,T\subseteq \mathbb{R} \) , il punto \( \displaystyle x_0 \) potrà essere indifferentemente al finito (i.e. \( \displaystyle x_0\in \mathbb{R} \) ) od all'infinito (i.e. \( \displaystyle x_0=\pm \infty \) ).
Sia \( \displaystyle \mathcal{P} \) una proprietà che coinvolge la funzione \( \displaystyle f \) ; con la locuzione:
"la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) è verificata definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) "
si intende che esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) di \( \displaystyle x_0 \) in \( \displaystyle S \) tale che la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) valga per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\setminus \{ x_0\} \) .
Evidentemente, se la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) coinvolge le funzioni \( \displaystyle f \) e \( \displaystyle g \) , la locuzione di cui sopra significa che esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) di \( \displaystyle x_0 \) in \( \displaystyle S \) tale che la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) valga per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} \) ... E così via se nella \( \displaystyle \mathcal{P} \) intervengono altre funzioni.
Ad esempio, dire:
"Il prodotto \( \displaystyle f(x)g(x) \) è definitivamente limitato intorno ad \( \displaystyle x_0 \) "
equivale a dire che:
"esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) tale che \( \displaystyle f(x)g(x) \) è limitata in \( \displaystyle I(x_0)\cap X\cap Y \) "
od, ancora più esplicitamente:
"esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) ed esiste una costante \( \displaystyle M\geq 0 \) tale che, per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} \) , risulta \( \displaystyle |f(x) g(x)|\leq M \) ".
Le dimostrazioni finiscono con il solito \( \displaystyle \square \) .
La fine delle osservazioni è marcata dal simbolo \( \displaystyle \diamondsuit \) .
La fine di un esempio è segnata con \( \displaystyle \spadesuit \) .
*** Disclaimer ***
Quanto scritto di seguito non ha nessuna pretesa di completezza.
Chi fosse interessato ad approfondire la questione può consultare un qualsiasi vecchio testo (leggi: libro per i vecchi ordinamenti) di Analisi I.
Parimenti quanto scritto non sarà scevro da errori.
Chiunque volesse segnalarli può mandarmi un PM.
*** Notazioni, terminologia ed indicazioni generali ***
In quanto segue si suppone, a meno che non venga esplicitamente scritto il contrario, che:
- \( \displaystyle X,Y,Z,T \) siano sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico \( \displaystyle S \) (in particolare di \( \displaystyle \mathbb{R} \) o \( \displaystyle \mathbb{C} \) );
- \( \displaystyle f:X\to \mathbb{R} \) , \( \displaystyle g:Y\to \mathbb{R} \) , \( \displaystyle h:Z\to \mathbb{R} \) e \( \displaystyle k:T\to \mathbb{R} \) ;
- \( \displaystyle x_0 \) sia un punto di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y\cap Z\cap T \) ; in particolare, se \( \displaystyle X,Y,Z,T\subseteq \mathbb{R} \) , il punto \( \displaystyle x_0 \) potrà essere indifferentemente al finito (i.e. \( \displaystyle x_0\in \mathbb{R} \) ) od all'infinito (i.e. \( \displaystyle x_0=\pm \infty \) ).
Sia \( \displaystyle \mathcal{P} \) una proprietà che coinvolge la funzione \( \displaystyle f \) ; con la locuzione:
"la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) è verificata definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) "
si intende che esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) di \( \displaystyle x_0 \) in \( \displaystyle S \) tale che la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) valga per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\setminus \{ x_0\} \) .
Evidentemente, se la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) coinvolge le funzioni \( \displaystyle f \) e \( \displaystyle g \) , la locuzione di cui sopra significa che esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) di \( \displaystyle x_0 \) in \( \displaystyle S \) tale che la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) valga per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} \) ... E così via se nella \( \displaystyle \mathcal{P} \) intervengono altre funzioni.
Ad esempio, dire:
"Il prodotto \( \displaystyle f(x)g(x) \) è definitivamente limitato intorno ad \( \displaystyle x_0 \) "
equivale a dire che:
"esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) tale che \( \displaystyle f(x)g(x) \) è limitata in \( \displaystyle I(x_0)\cap X\cap Y \) "
od, ancora più esplicitamente:
"esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) ed esiste una costante \( \displaystyle M\geq 0 \) tale che, per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} \) , risulta \( \displaystyle |f(x) g(x)|\leq M \) ".
Le dimostrazioni finiscono con il solito \( \displaystyle \square \) .
La fine delle osservazioni è marcata dal simbolo \( \displaystyle \diamondsuit \) .
La fine di un esempio è segnata con \( \displaystyle \spadesuit \) .