Calcolo superficie sferica mediante integrazione... dove sbaglio ?

[Dick]

Salve,
Avevo pensato di calcolare la superficie sferica mediante questo modo, data una sfera di raggio R:
all'altezza 0<=x<=R dal centro, la circonferenza avrà raggio r = $ 2*pi *sqrt(R^2-x^2) $ ragione per la quale il singolo elemento di superficie dS =$ 2*pi *sqrt(R^2-x^2)*dx $ ed integrando questa espressione da 0 a R dovrei ottenere$ 2*pi*R^2$; il fatto è che risolvendo l'integrale ottengo un risultato completamente differente.
Quale è l'errore che commetto ?
Grazie delle risposte.
Dick

[21zuclo]

Allora se ho capito bene, devi calcolare il volume della sfera S di $RR^3$ di centro $0$ e raggio $r$, con $r>0$

E la sfera S ruota attorno all'asse $x$, giusto? generato dal rettangoloide di base $[-r,r]$

relativo alla funzione $f(x)=\sqrt(r^2-x^2)$ con $x\in [-r,r]$

Allora applicando la formula del primo teorema di Guldino $ 2\pi \int_(a)^(b)dx \int_(0)^(f(x))ydy=\pi \int_(a)^(b)f^2(x)dx $

quindi si ha (nel nostro caso)

$ \pi\int_(-r)^(r)r^2-x^2dx=4/3\pi r^3 $

SE invece vuoi l'area della superficie.. della tua funzione $f(x)=\sqrt(r^2-x^2)$ con $x\in [-r,r]$

Nel caso di una funzione ad una variabile e col primo teorema di Guldino..
si ha $ 2\pi \int_(a)^(b) f(x)\sqrt(1+[f'(x)]^2)dx $

nel nostro caso $ (d)/(dx)(\sqrt(r^2-x^2))=(-x)/(\sqrt(r^2-x^2)) $

quindi si ha
$ 2\pi \int_(-r)^(r)\sqrt(r^2-x^2)\cdot \sqrt(1+((-x)/(\sqrt(r^2-x^2)))^2)dx= 2\pi\int_(-r)^(r)\sqrt(r^2-x^2)\cdot \sqrt(1+(x^2)/(r^2-x^2))dx $

quindi
$2\pi \int_(-r)^(r)\sqrt(r^2-x^2) \cdot \sqrt((r^2)/(r^2-x^2))dx =2\pi \int_(-r)^(r) \sqrt(r^2-x^2)(r)/(\sqrt(r^2-x^2))dx $

a questo punto
$ 2\pi \int_(-r)^(r) r dx= 2\pi r (r+r)= 2\pi r(2r)= 4\pi r^2 $

[Dick]

SE invece vuoi l'area della superficie.. della tua funzione $f(x)=\sqrt(r^2-x^2)$ con $x\in [-r,r]$

Nel caso di una funzione ad una variabile e col primo teorema di Guldino..
si ha $ 2\pi \int_(a)^(b) f(x)\sqrt(1+[f'(x)]^2)dx $

nel nostro caso $ (d)/(dx)(\sqrt(r^2-x^2))=(-x)/(\sqrt(r^2-x^2)) $

quindi si ha
$ 2\pi \int_(-r)^(r)\sqrt(r^2-x^2)\cdot \sqrt(1+((-x)/(\sqrt(r^2-x^2)))^2)dx= 2\pi\int_(-r)^(r)\sqrt(r^2-x^2)\cdot \sqrt(1+(x^2)/(r^2-x^2))dx $

quindi
$2\pi \int_(-r)^(r)\sqrt(r^2-x^2) \cdot \sqrt((r^2)/(r^2-x^2))dx =2\pi \int_(-r)^(r) \sqrt(r^2-x^2)(r)/(\sqrt(r^2-x^2))dx $

a questo punto
$ 2\pi \int_(-r)^(r) r dx= 2\pi r (r+r)= 2\pi r(2r)= 4\pi r^2 $

No... il teorema di Guldino NON LO CONOSCO (ho fatto ingegneria, non matematica, quindi ho
dato solo Analisi I e II, Geometria.
volevo calcolare la superficie SENZA applicare Guldino: alla distanza x dal centro O, il raggio della circonferenza è $sqrt(R^2-x^2)$, di conseguenza l'elemento infinitesimo di superficie dS varrà $dS= sqrt(R^2-x^2)dx$, giusto ?

[21zuclo]

Ehi! Tranquillo/a .. calmati..

No... il teorema di Guldino NON LO CONOSCO (ho fatto ingegneria, non matematica, quindi ho
dato solo Analisi I e II, Geometria.

Comunque il teorema di Guldino, si fa in Analisi Matematica 2, ed ad ingegneria si dovrebbe fare..

Comunque mi sembra di sì che è giusto..