Esercizio applicazioni continue

[Fra27]

Buonasera, sto preparando un esame di topologia e ho trovato quest'esercizio che non riesco a risolvere.. Premetto che ho qualche problemino con le applicazioni, non mi sono molto simpatiche haha
Comunque questo era l'esercizio :

Descrivere le applicazioni continue da $X$ in $Y$ e da $Y$ in $X$ con $X= \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ e $Y=S^n\subset\mathbb{R^(n+1)}$

Innanzitutto $\mathbb{Z}$ non è compatto mentre $S^n$ lo è.
$\mathbb{Z}$ è di Hausdorff? Se lo fosse allora le applicazioni da $Y$ a$X$ sono chiuse.
Mentre per le applicazioni da $X$ in $Y$ non saprei proprio cosa dire.. Grazie a chi risponderà!

[kobeilprofeta]

Ma le continue non mandano cmpti in cmpti?

[Fra27]

Ma le continue non mandano cmpti in cmpti?

Si .. io credo che l'esercizio chieda di dire se sono chiuse o aperte.. anche perchè non saprei come altro definirle..

[kobeilprofeta]

Non possono essere nè aperte nè chiuse, altrimenti l'inversa sarebbe continua

[Fra27]

Non possono essere nè aperte nè chiuse, altrimenti l'inversa sarebbe continua

Ma l'esercizio definisce le applicazioni continue $\mathbb{Z}\rightarrowS^(n+1)$ e $S^(n+1)\rightarrow\mathbb{Z}$. Quindi le rispettive inverse dovrebbero essere continue, o sbaglio?


Tu come risolveresti questo esercizio?

[kobeilprofeta]

Non fidarti di me, però :

Da X in Y se esistono continue , allora non sono né aperte né chiuse

Da Y in X non esistono continue

[Fra27]

Non fidarti di me, però :

Da X in Y se esistono continue , allora non sono né aperte né chiuse

Da Y in X non esistono continue

Ma se $\mathbb{Z}$ è di Hausdorff l'applicazione $Y\rightarrowX$ non dovrebbe essere chiusa (se continua)?

Come fai a dimostrare che non esistono applicazioni continue da $Y$ in $X$?

[Fra27]

Non c'è nessuno che posssa risolvere questo esercizio?