Esercizio di topologia

[otta96]

Vi propongo un esercizio di topologia (nel senso che so già come risolverlo, vorrei sapere come lo risolvereste voi), riporto testualmente: (C'è solo il punto $e)$ perché è l'unico che mi interessa proporvi)

Sia $U$ la topologia su $RR$ in cui un sottoinsieme è chiuso se e solo se è vuoto oppure è finito oppure contiene il punto $0$.
$e)$ dire se $(R,U)$ è separabile e soddisfa al primo assioma di numerabilità.

[j18eos]

C'è un ambiguità: che intendi per spazio topologico separabile?

[otta96]

Se esiste un suo sottoinsieme numerabile e denso, in effetti avrei dovuto specificare, a volte si usa con altri significati.

[j18eos]

Infatti, in inglese si usano le parole separated e separable; in questo caso, si usa la seconda parola...

Considerato \(\displaystyle N\) un insieme numerabile di numeri reali non nulli; questi è aperto in quanto il suo complemento contiene lo \(\displaystyle 0\), per definizione \(\displaystyle N\cup\{0\}\) è la sua chiusura in \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{U})\); in particolare questo spazio topologico non è separabile!

Lo spazio \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{U})\) non è \(\displaystyle N_1\), poiché ha una topologia meno fine¹ della topologia cofinita!

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Note

1. M'imbroglio sempre tra più fine e meno fine... ↑

[otta96]

Con $N1$ intendi 1 numerabile?
Comunque l'ho proposto perché volevo vedere se qualcuno si accorgeva di un modo per accorciare lo svolgimento.

[j18eos]

Sì, esatto!

[otta96]

Visto che nessuno scrive più nulla, vi dico a cosa avevo pensato io, una volta dimostrato che lo spazio non è separabile, basta accorgersi che il testo chiede di dire se lo spazio è separabile e $N1$, ma visto che non è separabile, non può certamente essere separabile e qualcos'altro, qualsiasi cosa sia questo qualcos'altro (in questo caso $N1$)
Insomma, quello che avevo visto io era più un dettaglio logico che una cosa propriamente di topologia.