Dubbi sul fascio di piani

[Amedim]

Buongiorno,
sto svolgendo una tipologia di esercizi sul fascio di piano che mi sta dando un po' di problemi:

Considerati il fascio proprio di piani F(r) avente per asse la retta:

r: $ { ( x=1-t ),( y=t ),( z=1-2t ):} $
ed il piano $ Pi $ avente rappresentazione cartesiana $ Pi: 5x+y-2z-3=0 $
devo trovare:
1) un piano $ omega _1 $ se possibile tale che questo risulti parallelo a $ Pi $
2) il luogo dei punti descritto da $ omega _1 nn Pi $
3) un piano $ omega_2 $ in F(r) tale che $ omega_2 $ risulti ortogonale a $ Pi $

Ecco per il primo punto porto la retta in forma cartesiana e ricavo l'equazione del fascio che risulta essere:
$ x+y-+ky+kz-k =0 $
da cui, raccogliendo rispetto ad x,y,z ottengo: $ x+(2k+1)y+kz -1-k=0 $
Adesso per il piano ortogonale so che devo porre il prodotto scalare tra i direttori dei due piani=0 pero' per il piano parallelo non riesco a capire un modo per come sfruttare la condizione di parallelismo (se così devo procedere) $ (a,b,c)=k(a_1,b_1,c_1) $

qualche idea per favore??

[massimoaa]

L'ultima eguaglianza potresti scriverla in maniera più adatta ai calcoli in questo modo:
$a/a_1=b/b_1=c/c_1$
Nel tuo caso hai:
$1/5=(2k+1)/1=k/(-2)$ da cui si deduce il valore di k:

$k=-2/5$
Sostituendo nell'equazione del fascio risulta:
$5x+y-2z-3=0$
che è la richiesta equazione del piano $omega_1$ .
Il resto è anch'esso abbastanza standard. Provaci un po'.

[Amedim]

L'ultima eguaglianza potresti scriverla in maniera più adatta ai calcoli in questo modo:
$a/a_1=b/b_1=c/c_1$
Nel tuo caso hai:
$1/5=(2k+1)/1=k/(-2)$ da cui si deduce il valore di k:

$k=-2/5$

Ti ringrazio, ma mi sfuggiva completamente questa uguaglianza: so che in linea generale per avere due rette o due piani paralleli si devono avere i vettori direttori uguali, quella che hai riportato è dunque una condizione di parallelismo?

[Amedim]

Okay, ho rivisto la teoria ed adesso ci sono sul parallelismo, tutto chiaro. Per il luogo dei punti devo impostare un sistema e ricavare x,y,z??

[massimoaa]

Mi devo scusare ma devo aver interpretato male il problema nel senso che il piano $omega_1$ non è un piano
del fascio F(r) ma un piano qualunque parallelo a $\Pi$. Pertanto l'equazione di un piano del genere può essere
questa:
$5x+y-2z+8=0$
[basta sostituire il termine noto con un numero qualunque diverso da -3]
Per il punto (2) , essendo i piani $\omega_1$ e $\Pi$ paralleli, si ha che la loro intertsezione è la retta impropria
del piano $\Pi$ o di $\omega_1$
Per il punto (3) osserviamo che il vettore direzionale di $\Pi$ è $(5,1,-2)$ e ci occorre quello di $\omega_1$
Scriviamo allora l'equazione del fascio di piani aventi per asse la retta r:
$p(x+y-1)+q(2y+z-1)=0$
Ovvero:
(A) $px+(p+2q)y+qz-(p+q)=0$
Il vettore direzionale del generico piano di tale fascio è: $(p,p+2q,q)$ ed imponendo che sia perpendicolare
al vettore di cui prima si ha:
$5p+p+2q-2q=0$ da cui $p=0$ e dunque l'equazione richiesta è : $2y+z-1=0$

[Amedim]

Mi devo scusare ma devo aver interpretato male il problema nel senso che il piano $omega_1$ non è un piano
del fascio F(r) ma un piano qualunque parallelo a $\Pi$. Pertanto l'equazione di un piano del genere può essere
questa:
$5x+y-2z+8=0$
[basta sostituire il termine noto con un numero qualunque diverso da -3]
Per il punto (2) , essendo i piani $\omega_1$ e $\Pi$ paralleli, si ha che la loro intertsezione è la retta impropria
del piano $\Pi$ o di $\omega_1$
Per il punto (3) osserviamo che il vettore direzionale di $\Pi$ è $(5,1,-2)$ e ci occorre quello di $\omega_1$
Scriviamo allora l'equazione del fascio di piani aventi per asse la retta r:
$p(x+y-1)+q(2y+z-1)=0$
Ovvero:
(A) $px+(p+2q)y+qz-(p+q)=0$
Il vettore direzionale del generico piano di tale fascio è: $(p,p+2q,q)$ ed imponendo che sia perpendicolare
al vettore di cui prima si ha:
$5p+p+2q-2q=0$ da cui $p=0$ e dunque l'equazione richiesta è : $2y+z-1=0$

Ho rifatto i calcoli ed avevo utilizzato un procedimento simile per la 3) .. un solo dubbio: p e q non si annullano entrambi? a me veniva dal prodotto scalare un'equazione non verificata e quindi avevo concluso che non esisteva un piano ortogonale (la traccia dice determinare se possibile)

[massimoaa]

Il vettore direzionale di $\Pi$ è $(5,1,-2)$; quello del piano da me trovato è $(0,2,1)$.
Moltiplicando scalarmente i 2 vettori si ha: $(5,1,-2)*(0,2,1)=0+2-2=0$
e dunque quei 2 piani sono perpendicolari.

[Amedim]

Il vettore direzionale di $\Pi$ è $(5,1,-2)$; quello del piano da me trovato è $(0,2,1)$.
Moltiplicando scalarmente i 2 vettori si ha: $(5,1,-2)*(0,2,1)=0+2-2=0$
e dunque quei 2 piani sono perpendicolari.

Perfetto, grazie 1000. Per quanto riguarda il luogo dei punti se l'esercizio mi avesse chiesto quello tra il piano ortogonale del fascio ed il piano $ Pi $ l'intersezione sarebbe una retta che formano i due piani? Scusami il fastidio è un esercizio semplice lo so ma mi ha fatto sorgere molti dubbi ahha