Componenti di vettori linearmente indipendenti

[matemos]

Buonasera,

Al momento mi sfugge il perché le componenti di vettori linearmente indipendenti sono esse linearmente indipendenti

[cooper]

scusa ma non conosco/capisco la proposizione. cosa vuol dire? hai un esempio?

[matemos]

Sì, perdonami la poca chiarezza.
Sostanzialmente in un esercizio c'era scritto che la matrice era di rango massimo in quanto nelle entrate (per colonna) vi erano le componenti di 3 vettori linearmente indipendenti (rispetto alla stessa base ovviamente).
Per questo chiedevo: le componenti (risepetto a una base) di vettori linearmente indipendenti sono esse (componenti) linearmente indipendenti?

Spero di essere stato più chiaro in caso riprendimi pure e ci riprovo

[cooper]

no ti sta solo dicendo che il rango è massimo quando le colonne della matrice (viste come dei vettori) sono l.i. in quel senso dice componenti del vettore.

[matemos]

Mhhh nono ti assicuro che intende proprio le componenti.
Io ho
$x_1=2v_1+0v_2+0v_3$
$x_2=0v_1+2v_2+0v_3$
$x_3=0v_1+0v_2+3v_3$
poi prende le componenti rispetto ai v (non è la canonica) di:
$x_1=(2,0,0)$
$x_2=(0,2,0)$
$x_3=(0,0,3)$
Le mette in una matrice e dice: il rango è massimo SEMPRE in questi casi, in quanto sono componenti di 3 vettori linearmente indipendenti $(x_1, x_2, x_3)$ rispetto a una qualsiasi base.
Ora ok ho fatto un caso facile ed è evidente siano linearmente indipendenti tra loro, però l'esercizio svolto afferma proprio: se hai tre vettori linearmente indipendenti SEMPRE funziona questa pratica.
Ma non capisco da quale teorema o teoria derivi questa sicurezza.

Buona serata

[feddy]

Prova a guardare cosa succede se le componenti sono linearmente dipendenti

[cooper]

La forma in cui l'hai messa giù adesso è diversa rispetto al post iniziale. Il teorema è una catena di equivalenze che porta ad avere anche l'invertibilità della funzione (se sono una base i vettori) e ad avere determinante non nullo.
Più che altro le componenti di in vettore sono degli scalari e non ha senso chiedersi se siano o no dipendenti, sono dei numeri. La formulazione fatta alla fine mi sembra abbia più senso

[matemos]

La forma in cui l'hai messa giù adesso è diversa rispetto al post iniziale. Il teorema è una catena di equivalenze che porta ad avere anche l'invertibilità della funzione (se sono una base i vettori) e ad avere determinante non nullo.
Più che altro le componenti di in vettore sono degli scalari e non ha senso chiedersi se siano o no dipendenti, sono dei numeri. La formulazione fatta alla fine mi sembra abbia più senso

Scusami ma immaginavo proprio di essermi espresso male. chiedo venia.

@feddy
Non è molto formale ma a intuito se sono linearmente dipendenti avrei ad esempio:
$x_1=2v_1+0v_2+1v_3$
$x_2=0v_1+2v_2+0v_3$
$x_3=2v_1+0v_2+1v_3$
cioè:
$x_1=2v_1+1v_3$
$x_3=2v_1+1v_3$
e in effetti anche in questo caso si eliderebbero pure i vettori.
Però non riesco a generalizzare questa proprietà se non facendo molti esempi da vero stupido XD
E soprattutto mi angoscia perché non ricordo se discende da qualcosa visto nella teoria che mi sfugge e tra poco avrò una prova intermedia

[feddy]

Puoi anche provare a farla per contronominale secondo me. ($A=> B <=> \not B => \not A$)

Cioè supponi siano le componenti dipendenti e fai vedere che i vettori sono linearmente dipendenti...è immediato

Vuol semplicemente dire che le componenti riferite alla stessa base sono le stesse, cioè hanno gli stessi coefficienti, cioè sono lo stesso vettore. Puoi

[matemos]

Grazie ragazzi siete sempre troppo preparati
CI ragiono un po' su su questo spunto!
Grazie mille