Aperti della topologia naturale di R

[fcmarco]

Ho un dubbio che non mi permette di ragionare in maniera lucida sugli esercizi di Topologia: gli aperti della topologia naturale di R sono tutti gli intervalli aperti del tipo (a,b) e le loro unioni. Per intuizione direi anche gli intervalli del tipo (x-α,x+α).
Invece gli aperti di R^2 sono i rettangoli del tipo (a,b)x(c,d) giusto? Ma anche i cerchi del tipo C(x,r) con centro x e raggio r sono aperti di x della topologia naturale o sbaglio?
Grazie in anticipo.

[spugna]

Sì, perché un cerchio (bordo escluso) è esprimibile come unione di rettangoli aperti, per cui è a sua volta un insieme aperto.

[anto_zoolander]

Gli aperti di $RR^n$ sono

$RR^n,emptyset$ e tutti gli insiemi che sono unione di palle aperte.

Dove le palle aperte sono $B(x,r)={y inRR^n:||x-y||<r}$

Il fatto che tutti gli intervalli del tipo $(a,b)$ siano aperti, non è per definizione ma per conseguenza del fatto che

$(a,b)=B((a+b)/2,(b-a)/2)$

e chiaramente ogni palla aperta essendo unione della sola palla, è un aperto.

[fcmarco]

Grazie mille molto utili entrambi. Vi ringrazio.
Se posso approfittare chiederei un'altra cosa. Nel caso in cui io abbia un quadrato aperto di baricentro C, e un cerchio con lo stesso centro C, come trovo il più grande quadrato contenuto nel cerchio?
La richiesta è trovare il più grande aperto contenuto nel cerchio nella topologia che ha come aperti tutti i quadrati aperti di baricentro C e lati paralleli agli assi.