Proiezione di un vettore si un sottospazio

[RenoFranco]

Buonasera,
avrei bisogno di un metodo per risolvere questo tipo di esercizi, l'esempio in questione chiede:
La proiezione di $(1,1,-1,2)$ su $<(1,1,0,0),(1,0,1,0)>$
Il risultato è $(2/3, 4/3, −2/3,0)$

Grazie per l'aiuto!

[anto_zoolander]

Ciao!

La prima buona idea è quella di prendere una base ortogonale dello spazio considerato $W= <(1,1,0,0),(1,0,1,0)>$

Prendendo $(x+y,x,y,0)$ vettore generico di $W$ poniamo

$(x+y,x,y,0)*(1,1,0,0)=2x+y=0 <=> y=-2x$

Ovvero lo spazio ortogonale generato sarà $<(-1,1,-2,0)>$

Quindi $W=<(-1,1,-2,0)> oplus <(1,1,0,0)>$

Ora bisogna considerare i coefficienti di proiezione del vettore $v=(1,1,-1,2)$ sui vettori della base, che saranno

$c_1=((1,1,-1,2)*(1,1,0,0))/((1,1,0,0)*(1,1,0,0))=1$

$c_2=((1,1,-1,2)*(-1,1,-2,0))/((-1,1,-2,0)*(-1,1,-2,0))=1/3$

Quindi sarà $v=c_1(1,1,0,0)+c_2(-1,1,-2,0)=(2/3,4/3,-2/3,0)$

Più in generale dato un sottospazio $W= <<w_1,...,w_m>>$ di uno spazio $V$ tale che quel sistema formi già una base ortogonale è dato $v inV$ si pone

$pi_(W)(v)=sum_(j=1)^(m)(v*w_j)/(||w_j||^2)*w_j$

fine.