Esercizio spazi vettoriali

[Ragazzo123]

ciao a tutti, ho fatto questo esercizio ma non riesco a capire una cosa:




in pratica :
$( ( 0 ),( 2i ),( k+1 ) )=alpha( ( 1 ),( 2i ),( 1 ) )+ beta ( ( i ),( -1 ),( 0 ) )+gamma( ( 1 ),(0 ),(-1 ) )$
ho creato un unica matrice e con il metodo di eliminazione di gauss l'ho ridotta a:




quindi per i valori di versi da $k!=1$ è impossibile, ma per k=1 vien fuori un sistema:

${ ( alpha +ibeta+gamma=0),( beta-2igamma=2i ):}$

la soluzione è: $beta=2ialpha-2i$ e $gamma=alpha-2$

ora non so che devo fare... dovrei rimettere
$w_k=beta(2ialpha-2i)+gamma(alpha-2)$
ed ho finito?
cancello $alpha$ e scrivo omega come combinazione lineare di quei due vettori? un aiutino?

[Ernesto01]

Non ho capito il dubbio, quindi non sono sicuro di rispondere in maniera corretta alla tua domanda.
Tu hai trovato non una, bensì infinite soluzioni. L'esercizio non ti chiede di dirle tutte, ma facciamolo lo stesso.
Le soluzioni sono, ipotizzando che i tuoi calcoli siano giusti, $alpha=t,beta=2it-2i,gamma=t-2$ al variare di $t in CC$.
Inoltre $w_1=a alpha + b beta+ c gamma$, dove $a,b,c$ sono i vettori del testo.
Hai infinite soluzioni, a te ne basta una. Per esempio ponendo $t=1$ ottieni $alpha=1,beta=0,gamma=-1$
Cioè $w_1=a-c$. Puoi verificare facilmente che i conti tornano. (Attento che è un caso che $alpha,beta,gamma$ siano tutti reali, in generale sono complessi, per esempio per $t=2$ $beta$ è complesso).