Per prima cosa
$p(i)=(a+ib)(-i)+(c+id)(-1)+(e+if)i+(g+ih)=-ia+b-c-id+ie-f+g+ih$
$p(-i)=(a+ib)i+(c+id)(-1)+(e+if)(-i)+(g+ih)=ia-b-c-id-ie+f+g+ih$
$p(i=0)=a(-i)+c(-1)+ei+g=-ia-c+ie+g$
a) Per verificare se $X$ e $Y$ siano sottospazi di $V$, serve verificare che siano soddisfatti appartenenza vettore nullo, chiusura rispetto alla somma e chiusura rispetto al prodotto.
Appartenenza del vettore nullo:
posto $alpha=(a+ib); beta=(c+id); gamma=(e+if); delta=(g+ih)$ e preso un vettore nullo $(0,0,0,0)$, si ha:
$p(i)=alpha(-i)+beta(-1)+gamma i+delta=0(-i)+0(-1)+0i+0=0 in V$
$p(-i)=alpha i+beta(-1)+gamma (-i)+delta=0i+0(-1)+0(-i)+0=0 in V$
$p(i=0)=Re alpha(-i)+Re beta(-1)+Re gamma i+Re delta=0(-i)+0(-1)+0i+0=0 in V$
e questo verifica l'appatreneza del vettore nullo.
Chiusura rispetto la somma:
presi $p_1(z)=(a+ib)z^3+(c+id)z^2+(e+if)z+(g+ih)$ e $p_2(z)=(a'+ib')z^3+(c'+id')z^2+(e'+if')z+(g'+ih')$
si ha $p_1(z)+p_2(z)=[(a+ib+a'+ib'; c+id+c'+id'; e+if+e'+if'; g+ih+g'+ih'$
Allora
(1) $(a+ib+a'+ib')(-i)+(c+id+c'+id')(-1)+(e+if+e'+if')i+(g+ih+g'+ih')=0$
(2) $(a+ib+a'+ib')i+(c+id+c'+id')(-1)+(e+if+e'+if')(-i)+(g+ih+g'+ih')=0$
(3) $(a+a')(-i)+(c+c')(-1)+(e+e')i+(g+g')=0$
ponendo (1)=(2) si ottiene:
$-2ia+2b-2ia'+b'+2ie-2f+2ie'-2f'=0$
e qui mi perdo...
Mi dareste una mano?
Grazie!
