Problema su trasposta coniugata

[lalalala]

Salve,

Non riesco a venire a capo di quest'esercizio:

Sia A \(\displaystyle \epsilon \mathit{M}( \mathbb{C}) \) tale che la trasposta coniugata di A sia uguale ad UA con U\(\displaystyle \epsilon \mathit{U}( \mathbb{C} )\) (matrice unitaria) è vero che A è normale?

L'unica idea che mi è venuta in mente è quella di sfruttare il teorema spettrale complesso ovvero di dimostrare che A è unitariamente diagonalizzabile ma non riesco proprio.

[cooper]

io farei così
dati:
A è tale che $A^(T)= UA$ con $U in U(CC)$ e dunque $U^T U = UU^T= I$ con T indico la trasposta coniugata
svolgimento:
$A^T A = UA A= UA I A=UAU^T UA=UAU^T A^T =A^T U^T A^T =(UA)^T A^T = (A^T)^T A^T = A A^T$

[lalalala]

Grazie mille, l'esercizio chiede poi se è vero il viceversa: se A è normale allora la trasposta coniugata di A è uguale a UA). Io ho risposto così:
se A è diagonale \(\displaystyle \mathit{ ^{t} \overline{A}=\overline{A}} \) allora l?affermazione è vera per una facile verifica: (se al posto ii ho l'autovalore x+iy basta impostare l'equazione \(\displaystyle \mathit{(cos(\alpha)+isin(\alpha))*(x+iy)=x-iy} \) dove \(\displaystyle (cos(\alpha)+isin(\alpha)) \) corrisponde all'elemento di U nel posto ii, e tale equazione ha sempre soluzione (credo)).

Se A non è diagonale:
A è unitariamente diagonalizzabile: \(\displaystyle \mathit{A=^{t}\overline{Q}DQ} \)
Per il ragionamento di prima \(\displaystyle \mathit{\overline{D}=UD} \)
Moltiplicando a sx per Q e a dx per la trasposta coniugata di U e di Q ottengo:
\(\displaystyle \mathit{ ^{t}\overline{U}Q\overline{D}^{t} \overline{Q}=QD^{t} \overline{Q}} \)

Che non è altro che \(\displaystyle \mathit{ ^{t}\overline{U}^{t} \overline{A}=A} \)
Da cui segue direttamente

[cooper]

ricorda che nel caso complesso le matrici normali sono quelle per cui vale il teorema spettrale. io procederei così:
dal teorema spettrale sappiamo che esistono una matrice unitaria W ed una matrice diagonale D tali che $A= W D W^T$ dove $D=(lambda_1, ..., lambda_n)$ con $lambda_i$ gli autovalori dell'operatore A. scriviamo in forma polare gli autovalori e quindi $lambda_j = |lambda_j| e^(i theta_j) ^^ bar(lambda_j)=|lambda_j| e^(-itheta_j)$. definiamo ora $V:= diag(e^(-2itheta_1),.., e^(-2itheta_n))$. anzitutto noto che $V in U(CC)$ e che $VD=barD = D^T$. quindi valgono le seguenti uguaglianze:
$A^T = W D^T W^T = W VD W^T = (W V W^T)(W D W^T) = UA$
dove abbiamo chiamato $U:= W V W^T$ che è unitaria.

[lalalala]

ricorda che nel caso complesso le matrici normali sono quelle per cui vale il teorema spettrale. io procederei così:
dal teorema spettrale sappiamo che esistono una matrice unitaria W ed una matrice diagonale D tali che $A= W D W^T$ dove $D=(lambda_1, ..., lambda_n)$ con $lambda_i$ gli autovalori dell'operatore A. scriviamo in forma polare gli autovalori e quindi $lambda_j = |lambda_j| e^(i theta_j) ^^ bar(lambda_j)=|lambda_j| e^(-itheta_j)$. definiamo ora $V:= diag(e^(-2itheta_1),.., e^(-2itheta_n))$. anzitutto noto che $V in U(CC)$ e che $VD=barD = D^T$. quindi valgono le seguenti uguaglianze:
$A^T = W D^T W^T = W VD W^T = (W V W^T)(W D W^T) = UA$
dove abbiamo chiamato $U:= W V W^T$ che è unitaria.

Grazie mille!!!
Ma il ragionamento che ho fatto io sulle diagonali è sbagliato?

[cooper]

non capisco perchè se la soluzione all'equazione esiste sempre questo dovrebbe garantire $A^T = UA$

[lalalala]

non capisco perchè se la soluzione all'equazione esiste sempre questo dovrebbe garantire $A^T = UA$

Il mio ragionamento è stato che la trasposta coniugata è uguale alla coniugata se A è diagonale. Quindi si tratta di trovare una matrice unitaria U tale che UA è uguale a A coniugata. E a questo punto ho detto se prendo U anche essa diagonale quando moltiplico UA equivale a moltiplicare l ii esimo elemento di A con l iiesimo elemnto di U, il quale deve essere del tipo cos+isin perché U è unitaria.
Quindi per ogni elemento ii esimo devo avere (cos+isin)*(x+iy)=x-iy e questa equazione ha sempre soluzione. Quindi esiste sempre U.. non so se mi sono spiegata

[cooper]

posto in questi termini mi sembra possa filare tutto

[lalalala]

OK grazie mille