Complemento ortogonale e somma diretta.

[Daken97]

Salve ragazzi. Supponiamo che io ho un sottospazio vettoriale W di V, e il suo complemento ortogonale; mi potete mostrare un caso per cui la somma delle rispettive dimensioni è maggiore di V? Lo chiedo perchè secondo me dovrebbero sempre coincidere, ma alcune fonti non sono dello stesso parere...

[Bokonon]

Siamo in $R^4$. V è un piano e W una retta del piano. Il complemento ortogonale di W cos'è? E quindi che dimensioni ha?

[Daken97]

Dunque... per la legge di Grassmann: dim(w+w⊥)=dim(w)+dim(w⊥ )-dim(w ∩ w⊥). Ora, a casa mia (w ∩ w⊥)= {0 } (vettore nullo) SEMPRE, perchè l'unico vettore ortogonale a sé stesso è proprio quello nullo. Ergo, dim(w+w⊥)=dim(w)+dim(w⊥ ), e quindi per me la somma delle dimensioni deve sempre coincidere con qulla di V.

[Daken97]

Provo ad autorispondermi... ciò che dico io è possibile solo se nella definzione di "sottospazio ortogonale" consideriamo un prodotto scalare qualunque, e non necessariamente quello canonico... in quest'ultimo caso possiamo sempre parlare di complemento ortogonale, e allora la somma fra un sottospazio vettoriale di V e il suo c.o. ha sempre dimensione pari a quella di V.

[anto_zoolander]

Ciao!

È noto che se una forma bilineare simmetrica è non degenere allora vale l’uguaglianza.
Quindi si prova a prendere una forma bilineare degenere, come per esempio:

$b(X,Y)=X^t[(1,2),(2,4)]Y$

Prendiamo il sottospazio $<(2,-1)>$ e calcoliamo $W^(_|_)$
È noto anche che un vettore appartiene all’ortogonale di un sottospazio sse è ortogonale a ogni vettore della base di tale sottospazio, quindi:

$[(x,y)][(1,2),(2,4)][(2),(-1)]=[(x,y)][(0),(0)]$

Quindi $W^(_|_)=RR^2$ poiché ogni vettore di $RR^2$ è ortogonale a tale sottospazio e si verifica che $dimW+dimW^(_|_)=3>2=dimRR^2$

[Bokonon]

Quindi si prova a prendere una forma bilineare degenere

E vabbè! Però non è un prodotto scalare!
Se facciamo così diventa come provare che 1+1=3 violando il buonsenso!

...però mi è piaciuto molto ugualmente

[anto_zoolander]

Il complemento ortogonale puoi definirlo per una qualsiasi forma bilineare simmetrica(in realtà anche antisimmetrica)
Questa è una forma bilineare simmetrica!

Restringersi ai soli prodotti scalari significa scavalcare capitoli di teoria

[Bokonon]

Il complemento ortogonale puoi definirlo per una qualsiasi forma bilineare simmetrica(in realtà anche antisimmetrica)
Questa è una forma bilineare simmetrica!

E lo so! Ma non soddisfa $ (v,v)=0 rArr v={0} $ e allora tutto può accadere e di più...come in 1+1=3.

Restringersi ai soli prodotti scalari significa scavalcare capitoli di teoria

Ok, però è pura deviazione IMHO

[anto_zoolander]

Ma non è mica chiesto che ogni forma bilineare lo soddisfi

[Bokonon]

Ma non è mica chiesto che ogni forma bilineare lo soddisfi

Per essere un qualsiasi prodotto scalare si e il dubbio di Draken riguardava questi.
A me è piaciuta molto la tua risposta...creare infiniti vettori che sono ortogonali all'intero $R^2$ oltre al vettore nullo l'ho trovata bella (giusto nel caso non si fosse capito).