Inversa di un'operazione elementare sulle righe (wikipedia)

[marco2132k]

Ciao. Vorrei provare che l'inversa dell'operazione \( L_{ij}(m) \) descritta su https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Row-addition_transformations è \( L_{ij}(-m) \).

Ossia, voglio dimostrare che la matrice \( I+me_{ij} \), dove \( e_{ij} \) è la matrice che ha \( 1 \) in \( ij \) e \( 0 \) in ogni altra coordinata, ha per inversa la matrice \( I-me_{ij} \). Apparentemente ho già sbagliato tre volte i conti, perché \( \left(I+me_{ij}\right)\left(I-me_{ij}\right) \) mi dà come risultato \( I-m^2e_{ij}e_{ij} \), dove secondo termine non è nullo.

[Bokonon]

Non puoi scrivere così. Chiama A la matrice composta da zeri eccetto che per una entrata.
$(I+A)(I-A)=I-A+A-A A=I$ perchè AA è la matrice nulla.

[fmnq]

Beh, e invece è nullo, tutte le $e_{ij}$ sono nilpotenti.

[marco2132k]

Sì, avete ragione: in effetti \( e_{ij} \) è una matrice, e non l'entrata uguale a \( 1 \) della matrice \( e_{ij} \)...

Grazie!

[dissonance]

Non puoi scrivere così. Chiama A la matrice composta da zeri eccetto che per una entrata.
$(I+A)(I-A)=I-A+A-A A=I$ perchè AA è la matrice nulla.

Giusto per curiosità, si che si può scrivere così. Infatti,
\[
(I+A)(I-A)=I-A+A-A^2=I-A^2.\]
In generale, ovviamente,
\[
(A+B)(A-B)=A^2-B^2 +[B, A],\]
dove \([B,A]=BA-AB\) si chiama "commutatore". Se una delle due matrici è l'identità il commutatore è ovviamente nullo e si può applicare il prodotto notevole, il che aiuta nei conti.