Esercizio sulle applicazioni lineari

[Salvy]

Non riesco a risolvere questo tipo di esercizi sulle applicazioni lineari :
Determinare le equazioni delle applicazione lineare f: R^2-->R^4 avente come matrice associata


A= $ ( ( -1 , 3 ),( 0 , 5 ),( 1 , 2 ),( 3 , 0 ) ) $

rispetto la base B=((1,3),(-2,8)) di R^2 e la base B'=((1,1,0,0),(1,2,0,3),(-1,0,-1,-1),(0,0,0,5)) di R^4

Inizio in questo modo :

f(1,3)=-1(1,1,0,0)+0(1,2,0,3)+1(-1,0,-1,-1)+3(0,0,0,5)
f(-2,8)=3((1,1,0,0)+5(1,2,0,3)+2(-1,0,-1,-1)+0(0,0,0,5)

Per ogni vettore appartenente a R^2 , posso scrivere che
(x,y)= $ alpha $ (1,3)+ $ beta $ (-2,8)

A questo punto mi blocco e non so cosa fare

Moderatore: Martino

Ho messo il titolo in minuscolo, come da regolamento. Attenzione la prossima volta, grazie.

[Salvy]

qualcuno può aiutarmi?

[Salvy]

C'è nessuno?

[SirDanielFortesque]

Scusa quanto dovrebbe venire il risultato? (non vorrei scrivere qualcosa di sbagliato).

A me risulta

$M_E^E(f)=1/14*((-34,2),(-47,11),(-2,4),(73,41))$

[Salvy]

Si è giusto, potresti spiegarmi cosa devo fare?

[SirDanielFortesque]

Guarda sto sto studiando anch'io questo argomento. Praticamente puoi vederlo in due modi. Quello più semplice è facendo un grafichetto mnemonico che però va letto al contrario e adesso non ho carta e penna per fartelo più tardi te lo mando in messaggio privato.

Altrimenti basta ricordare la formula che discende dal teorema di rappresentazione.

$M_E^E(f)=M_(E)^(B')(I)*M_(B')^(B)(f)*M_(B)^E(I)$

Non so che notazione usi il tuo libro però hai:

$M_(E)^(B')(I)=((1,1,0,0),(1,2,0,3),(-1,0,-1,-1),(0,0,0,5))^(T)$

$M_(B)^E(I)=(M_(E)^(B)(I))^(-1)=(((1,-2),(3,8)))^(-1)$

Ed infine
$M_(B')^B(f)=( ( -1 , 3 ),( 0 , 5 ),( 1 , 2 ),( 3 , 0 ) ) $

Se fai il prodotto ottieni la matrice cercata.

Per controllare la correttezza noti due cose:

1) Che giustamente il testo ti chiede di invertire una matrice quadrata di ordine 2 e non di ordine 4, ché sarebbe stato un po' più difficile.

2) Che stai facendo prodotti tra matrici conformabili.

Comunque con lo schemino è tutto più semplice ed eviti di dover imparare a memoria la formula. Non so farlo con latex dopo di mando uno scan se riesco altrimenti una foto in MP. Adesso sono in treno. Ciao.

Scusa la trasposizione ma i vettori della base vanno messi nelle colonne e il programma è controintuitivo ragiona per righe allora tu sul foglio mettilo per il verso giusto.

[Salvy]

Ti ringrazio, aspetto la foto così lo capirò meglio

[SirDanielFortesque]

Non so come mandarti la foto in MP.

La metto qua ma avrei preferito non metterla qua perché effettivamente è una rappresentazione un po' naïf






Chiaramente $E$ è per me è la base canonica.


Anche se la freccia va in quella direzione per come è definita la composizione di applicazioni lineari devi percorrerla nel senso contrario quando fai il prodotto. Se questi grafici non ti piacciono allora l'unica cosa che fa testo, naturalmente, è il teorema di rappresentazione.