Ho un dubbio su un argomento affrontato di recente e su cui devo ancora fissare le idee
La spiegazione fatta in classe è esattamente questa (ho usato il primo risultato su google e mi sembra abbastanza ben spiegato)
https://www.youmath.it/forum/algebra-li ... alare.html
Venendo al dubbio vero e proprio, se io definisco una forma bilineare:
$\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$ in $RR^2$ e mi chiedo "quale è la marice che lo rappresenta secondo la base: (1,0), (1,1)" arrivo a un risultato che non riesco ad interpretare.
Svolgendo i calcoli si avrebbe $M=((1,1),(1,2))$, ora quello che mi sembra di aver fatto è aver posto una nuova base su V (mettiamo V siano i vettori bidimensionali freccette solo perfissare le idee) ora mi aspetterei che sono il vettore di componenti (1,0) identiche al vecchio vettore di componenti (1,0) e (0,1) rispetto alla nuova base che coincide col vecchio vettore di componenti (1,1) (o meglio il vettore v in V è lo stesso, cambiano solo gli isomorfismi in R^2) ad essere ortogonali rispetto a questa definizione di prodotto scalare (forma bilineare particolare).
Invece se svolgo $(0,1)_N.((1,1),(1,2)).(1,0)_N$ (dove con pedice N intendo componenti rispetto alla nuova base) con mia grande meraviglia trovo la componente di valore 1 come se mi dicesse "hey la vecchia rappresentazione $(1,1)$ che ora chiami $(0,1)_N$ si proietta con valore di 1 rispetto a quello che la componente (1,0) rappresenta (tramite isomorfismo) in V.
Eppure io ho costruito la matrice perché possa rappresentare il prodotto (rispetto alla nuova base) $x_1y_1+x_2y_2$ (con $x_n$ e $y_n$ componenti della nuova base) quindi dovrebbe essere zero!
Invece mi sembra che quella matrice rappresenti in ogni base scelta il fatto che le componenti nella vecchia base $(x_1,x_2)$ abbiano quella tale ortogonalità sempre fissa, risultato: non riesco a capirci un tubo.
Non so se mi sono spiegato molto
Grazie