Dubbi sulla posizione retta-piano

Messaggioda Obidream » 14/08/2019, 15:18

Buon pomeriggio, mi è capitato il seguente esercizio tra le mani di cui non ho la soluzione:

"Sia $r_1$ la retta definita dalla condizione $x = 2y = z$ e $\pi$ il piano $x = y + z$.

(a) Spiegare perché una retta $r_2$ appartenente al piano π può incontrare la retta $r_1$ solo se è esprimibile sotto la forma $r_2 ∶ (x , y , z) = (at, bt, ct)$.

(b) Trovare $a, b, c in RR$ affinché la retta $r_2$ risulti ortogonale alla retta $r_1$ .


Per il punto a) ho pensato a questa soluzione:

Una parametrizzazione della retta $r_1$ è la seguente $(x,y,z) = (2t,t,2t)$ quindi la sua direzione è descritta dal vettore $\vec v_1 = (2,1,2)$ e passa per l'origine $O=(0,0,0)$.
Il piano $\pi$ contiene $O$ ed il vettore normale ad esso ha componenti $\vec n = (1,-1,-1)$.

Il prodotto scalare $\vec v_1 * \vec n = (2,1,2)*(1,-1,-1) = -1 !=0$ quindi $r_1$ e $\pi$ sono incidenti in $O$, ragion per cui una retta appartenente a $\pi$ deve necessariamente passare per $O$ e quindi essere della forma $(x,y,z) = (at,bt,ct)$


b) Considero $\vec v_2 = (a,b,c)$ come il vettore direzione di $r_2$. Affinché $r_1$ ed $r_2$ siano ortogonali dev'essere $\vec v_1 * \vec v_2 = 0$, in particolare:

$(2,1,2)*(a,b,c) = 0$ ed ad esempio tale condizione è verificata prendendo $a = 1, b =1, c=-3/2$

Può andare? Grazie in anticipo
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
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Re: Dubbi sulla posizione retta-piano

Messaggioda Bokonon » 16/08/2019, 13:24

Per il punto 1 basta osservare che sia la retta che il piano passano e si intersecano nell'origine. Quindi qualsiasi retta del piano che non passi per l'origine non incontrerà $r_1$. Da cui la tesi per cui $r_2$ è del tipo $t*(a,b,c)$.

Per il punto 2, la direzione voluta deve sottostare a due vincoli:
a) deve essere perpendicolare ad entrambe le direzioni $(1, -1, -1)$ e $(2, 1, 2)$
b) deve appartenere al piano

Facendo il prodotto vettoriale si ottiene la direzione $(1,4,-3)$ e i punti su di essa soddisfano il vincolo $x=y+z$
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Re: Dubbi sulla posizione retta-piano

Messaggioda Obidream » 16/08/2019, 17:44

Grazie, soprattutto nel punto b) mi ero proprio perso il fatto che $r_2$ dovesse anche appartenere al piano
((v & 0xff) && (v & 0xff00) && (v & 0xff0000) && (v & 0xff000000))
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Re: Dubbi sulla posizione retta-piano

Messaggioda Bokonon » 16/08/2019, 21:41

Beh, ho separato i due punti ma in realtà il punto a) implica il punto b).
Qualsiasi insieme di punti perpendicolare alla direzione $(1, -1, -1)$ e passante per l'origine deve appartenere al piano.
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