Isomorfismo canonico tra v e v^*

[Reyzet]

Salve, ho un dubbio, non troppo importante ma vorrei chiarirlo, io conosco una definizione di isomorfismo canonico tra spazi vettoriali a dimensione finita, ovvero è un isomorfismo non dipendente dalla scelta della base.
In particolare so che tra $V$ e il suo biduale esiste un isomorfismo canonico. Ora io ho sempre letto e saputo che invece $V$ e il suo duale non fossero canonicamente isomorfi (non so nessuna dimostrazione di questo fatto però), eppure leggendo in un testo di Meccanica Razionale c'è scritto che se V è uno spazio euclideo invece esiste un tale isomorfismo canonico non dipendente dalle basi, che per ogni $x\in V$ dà il funzionale $\tau(x)$, tale che $\forall y\inV$ sia $(\tau(x))(y)=<x,y>$. Questo però dipende dal prodotto scalare, quindi è considerabile canonico?

[caulacau]

La parola che fa la differenza è "euclideo". Uno spazio euclideo è uno spazio con una assegnata applicazione bilineare \(g : V\otimes V \to k\), che in quanto tale, per trasposizione, dà un omomorfismo lineare \(g^\lor : V \to V^\lor\); uno spazio euclideo si può perciò pensare come uno spazio $V$ con un assegnato isomorfismo \(V\cong V^\lor\).

[Reyzet]

L'isomorfismo sarebbe dato fissando un vettore v e prendendo il funzionale $g(v,.)$? Quindi ok in questo caso l'isomorfismo è canonico, ma per uno spazio vettoriale non euclideo invece?

[caulacau]

L'isomorfismo sarebbe dato fissando un vettore v e prendendo il funzionale $g(v,.)$?

Sì.

Quindi ok in questo caso l'isomorfismo è canonico, ma per uno spazio vettoriale non euclideo invece?

Per uno spazio non euclideo non c'è nessun isomorfismo canonico. Il motivo è che affinché esista, deve succedere che il quadrato
\[
\begin{CD}
V @>\cong>> V^\lor \\
@VfVV @AA{f^\lor}A \\
W @>>\cong> W^\lor
\end{CD}
\] commuti per ogni \(f : V \to W\). Nessun isomorfismo del genere può esistere. Perché? Perché se imponi che esista una tale famiglia \(\alpha_V : V \to V^\lor\), per esempio quando tutti gli spazi in esame hanno dimensione finita, significa che \(\alpha_V(v)(\_) = \alpha_W(f(v))(f\_)\); fatti un esempio che ti mostri che questo non può accadere: intuitivamente, LHS non dipende da \(f\), RHS sì. \(f\) è scelto ad arbitrio, \(\alpha\) però è un isomorfismo: cosa succede se \(f\) ha un nucleo molto grande? Cosa succede se \(f\) è la mappa zero?

Questo diventa ancora più vero quando gli spazi non hanno dimensione finita (mentre in dimensione finita si può dimostrare che \(\dim_KV = \dim_KV^\lor\), e quindi un isomorfismo deve esistere; quel che hai appena dimostrato è che se esiste una famiglia di \(\alpha_V\) "canonica" come sopra, allora ciascuna componente deve essere la mappa zero).

PS: Formalmente, quello che stai dicendo è che la dualizzazione come funtore \({\sf Vect}^\text{op}\to {\sf Vect}\), non è isomorfo all'identità. E in effetti, non può esserlo, perché l'argomento sopra ha mostrato che qualsiasi trasformazione naturale \(\text{id}_{\sf Vect} \Rightarrow (\_)^\lor\) deve essere fatta da una famiglia di mappe zero.

[Reyzet]

Intanto grazie delle risposte. Penso che $f=0$ mostri quello che dici, perché darebbe $\alpha_{V}=0_{V}$.

In ogni caso pensavo che possiamo dotare qualunque spazio vettoriale (finitamente generato e su campo con caratteristica 0 quantomeno, mettiamo $\mathbb{R}$) di un prodotto interno, agendo su una base, no? Quindi volendo ogni spazio di quel tipo può essere considerato euclideo e perciò isomorfo canonicamente al duale, sempre però equipaggiandolo di un prodotto interno e non solo visto come spazio vettoriale ovviamente.

Comunque la condizione sul diagramma non ho capito da dove venga, è legato alla teoria delle categorie (come mi sembra di capire dalla tua postilla)? Se sì, un altro buon motivo per iniziare a vederne qualcosa dopo gli esami, cosa che volevo fare comunque.

[caulacau]

In ogni caso pensavo che possiamo dotare qualunque spazio vettoriale (finitamente generato e su campo con caratteristica 0 quantomeno, mettiamo $\mathbb{R}$) di un prodotto interno, agendo su una base, no? Quindi volendo ogni spazio di quel tipo può essere considerato euclideo e perciò isomorfo canonicamente al duale, sempre però equipaggiandolo di un prodotto interno e non solo visto come spazio vettoriale ovviamente.

Non ho capito, è una domanda, una richiesta di chiarimento, un dubbio, o stai ripetendo quel che ho detto per capire se hai capito?

Comunque la condizione sul diagramma non ho capito da dove venga.

Cosa significa "canonico" formalmente? Significa quello. Significa naturale.