Dubbio sui sistemi di generatori

Messaggioda osgalion » 18/09/2019, 17:26

Salve a tutti,

ho un dubbio su una dimostrazione che mi sta facendo penare. Devo dimostrare l'equivalenza logica delle seguenti proposizioni:

\(\displaystyle (a)\ \nu_1, \nu_2, ..., \nu_n\ costituiscono\ un\ sistema\ di\ generatori\ di\ \mathbb{R^m}\)
\(\displaystyle (b)\ rank([\nu_1, \nu_2, ..., \nu_n])\ =\ m\ (numero\ di\ righe\ della\ matrice) \)

Da quel che ho capito io, il procedimento dovrebbe essere qualcosa del genere:

Da (a), so che per ogni elemento \(\displaystyle \nu \) dello spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb{R^m} \) esiste una sequenza di numeri reali \(\displaystyle \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \) tali che \(\displaystyle \nu = \sum_{i=1}^n \alpha_i \nu_i \). Dato che ogni combinazione lineare può essere scritta in forma matriciale, l'uguaglianza precedente diventa \(\displaystyle Ax = \nu \), dove \(\displaystyle A = [\nu_1, \nu_2, ..., \nu_n] \) (matrice di m righe ed n colonne che ha come colonne i vettori \(\displaystyle \nu_i \)) e \(\displaystyle x = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] \) (vettore delle incognite).
Ora, per (a), so che \(\displaystyle \nu \) è una soluzione di quel sistema (non so se è l'unica) e quindi il sistema è compatibile. Per il teorema di Rouché-Capelli, ciò significa che il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice completa \(\displaystyle [A | \nu] \), ma ciò che non mi è chiaro è come concludere che quel rango sia proprio m. In base a ciò che ho studiato, se un sistema è compatibile, il teorema di Rouché-Capelli dice che il sistema ammette \(\displaystyle \infty^{n-p} \) soluzioni, dove n è il numero di incognite e p è \(\displaystyle rank(A) = rank([A | \nu]) \), ma non riesco a dire che p = m. Qualcuno può aiutarmi (o perlomeno dirmi se fin qui il ragionamento è corretto)? Grazie
osgalion
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